井戸型ポテンシャルにおける透過率と反射率

(2) (1)と同様にして
$$\psi (x)=A{\mathrm{e}}^{-kx}$$
から
$$\begin{array}{rl}j(x)& =–\frac{\mathrm{i}\hslash }{2m}(A^{\ast }{\mathrm{e}}^{-kx}(-k)A{\mathrm{e}}^{-kx}–A{\mathrm{e}}^{-kx}{A}^{\ast }(-k){\mathrm{e}}^{-kx})\\ & =0\end{array}$$
と求まる。

(3) $x<0$における波動関数を${\psi }^{<}(x)$とする。すなわち
$${\psi }^{<}(x)=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}+B{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}kx}$$
とする。$x<0$における$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}$方程式から
$$\begin{array}{rl}–\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{\psi }^{<}(x)& =E{\psi }^{<}(x)\\ E& =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\end{array}$$
が得られる。
$$k=\pm \sqrt{\frac{2mE}{{\hslash }^2}}$$
であるが、${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}$を$x$が負の方向からの入射波と考えているので、符合は$+$を取るべきであり、
$$k=\sqrt{\frac{2mE}{{\hslash }^2}}$$
となる。

$x>0$における波動関数を${\psi }^{>}(x)$とすれば、
$${\psi }^{>}(x)=C{\mathrm{e}}^{-\kappa x}$$
と書く事が出来て、$x>0$における$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}$方程式は
$$\begin{array}{rl}(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V_0){\psi }^{>}(x)& =E{\psi }^{>}(x)\\ E& =–\frac{{\hslash }^2{\kappa }^2}{2m}+V_0\end{array}$$
ここでも
$$\kappa =\pm \sqrt{\frac{2m(V_0–E)}{{\hslash }^2}}$$
と$\pm$の符合が解の候補として出るが、物理的に$x>0$の方向にポテンシャル内に侵入する解を選ぶことにすれば
$$\kappa =\sqrt{\frac{2m(V_0–E)}{{\hslash }^2}}$$
と選ぶべきである。

ここで、${\psi }^{<}(x)$と${\psi }^{>}(x)$が$x=0$においてなめらかに繋がる条件から
$$\begin{array}{rl}A+B& =C\\ \mathrm{i}kA–\mathrm{i}kB& =–\kappa C\end{array}$$
が得られる。この2式から$B,C$を$A$で表すと
$$\begin{array}{rl}B& =\frac{\mathrm{i}k+\kappa }{\mathrm{i}k–\kappa }A\\ C& =\frac{2\mathrm{i}k}{\mathrm{i}k–\kappa }A\end{array}$$
と求まるので、${\psi }^{<}(x),{\psi }^{>}(x)$は
$$\begin{array}{rl}{\psi }^{<}(x)& =A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}+\frac{\mathrm{i}k+\kappa }{\mathrm{i}k–\kappa }A{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}kx}\\ {\psi }^{>}(x)& =\frac{2\mathrm{i}k}{\mathrm{i}k–\kappa }A{\mathrm{e}}^{-\kappa x}\end{array}$$
と求まる。ここに
$$\begin{array}{rl}k& =\sqrt{\frac{2mE}{{\hslash }^2}}\\ \kappa & =\sqrt{\frac{2m(V_0–E)}{{\hslash }^2}}\end{array}$$
である。

(4) (3)で得られた波動関数から入射波、反射波、透過波の確率の流れの密度$j^{\mathrm{I}}(x),j^{\mathrm{R}}(x),j^{\mathrm{T}}(x)$は
$$\begin{array}{rl}{j}^{\mathrm{I}}(x)& =\frac{\hslash k}{m}|A{|}^2\\ j^{\mathrm{R}}(x)& =–\frac{\mathrm{i}\hslash }{2m}({\psi }^{<}(x)\frac{\partial }{\partial x}{\psi }^{<}(x)–{\psi }^{<}(x)\frac{\partial }{\partial x}{{\psi }^{<}}^{\ast })\\ & =-\frac{\hslash k}{m}|A{|}^2\\ j^{\mathrm{T}}(x)& =–\frac{\mathrm{i}\hslash }{2m}({\psi }^{>}(x)\frac{\partial }{\partial x}{\psi }^{>}(x)–{\psi }^{>}(x)\frac{\partial }{\partial x}{{\psi }^{>}}^{\ast })\\ & =0\end{array}$$
と求まるので、反射率$P^{\mathrm{R}}$と透過率$P^{\mathrm{T}}$は
$$\begin{array}{rl}{P}^{\mathrm{R}}& =–\frac{j^{\mathrm{R}}(x)}{j^{\mathrm{I}}(x)}=1\\ P^{\mathrm{T}}& =\frac{j^{\mathrm{T}}(x)}{j^{\mathrm{I}}(x)}=0\end{array}$$
と求まる。

(5) 対称性を見やすくするために、$x$座標を負の方向に$\frac{a}{2}$だけずらし、$x<–\frac{a}{2},x>+\frac{a}{2}$において$V(x)=0$、$–\frac{a}{2}\le +\frac{a}{2}$において$V(x)=V_0$としても、求める透過率、反射率は変わらないので、$x$座標をこのようにとる事にする。
領域$x<–\frac{a}{2},–\frac{a}{2}\le x\le \frac{a}{2},x>\frac{a}{2}$における波動関数を各々${\psi }^{\mathrm{I}}(x),{\psi }^{\mathrm{I}\mathrm{I}}(x),{\psi }^{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}(x)$と書く事にすると、以下のように表すことが出来る。
$$\begin{array}{rl}{\psi }^{\mathrm{I}}(x)& =C({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k(x+\frac{a}{2})}+R{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}k(x+\frac{a}{2})})\\ {\psi }^{\mathrm{I}\mathrm{I}}(x)& =C(B_1\cosh (\kappa x)+B_2\sinh (kx))\\ {\psi }^{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}(x)& =CT{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k(x–\frac{a}{2})}\end{array}$$
ここに
$$\begin{array}{rl}k& =\sqrt{\frac{2mE}{{\hslash }^2}}\\ \kappa & =\sqrt{\frac{2m(V_0–E)}{{\hslash }^2}}\end{array}$$
である。

$x=\pm \frac{a}{2}$において、波動関数がなめらかに繋がる条件から、$R,B_1,B_2,T$は
$$\begin{array}{rl}{B}_1& =\frac{-\mathrm{i}k}{\kappa \sinh (\frac{\kappa a}{2})–\mathrm{i}k\cosh (\frac{\kappa a}{2})}\\ B_2& =\frac{\mathrm{i}k}{\kappa \cosh (\frac{\kappa a}{2})–\mathrm{i}k\sinh (\frac{\kappa a}{2})}\\ T& =\frac{-\mathrm{i}k\kappa }{(\kappa \sinh (\frac{\kappa a}{2})–\mathrm{i}k\cosh (\frac{\kappa a}{2}))(\kappa \cosh (\frac{\kappa a}{2})–\mathrm{i}k\sinh (\frac{\kappa a}{2}))}\\ R& =\frac{-(k^2+{\kappa }^2)\sinh (\frac{\kappa a}{2})\cosh (\frac{\kappa a}{2})}{(\kappa \sinh (\frac{\kappa a}{2})–\mathrm{i}k\cosh (\frac{\kappa a}{2}))(\kappa \cosh (\frac{\kappa a}{2})–\mathrm{i}k\sinh (\frac{\kappa a}{2}))}\end{array}$$
と求まる。

従って、透過率$P^{\mathrm{T}}$と反射率$P^{\mathrm{T}}$は
$$\begin{array}{rl}{P}^{\mathrm{T}}& =|T{|}^2={\{1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(\kappa a)}{4E(V_0–E)}\}}^{-1}\\ P^{\mathrm{R}}& =|R{|}^2={\{1+\frac{4E(V_0–E)}{V_0^2{\sinh }^2(\kappa a)}\}}^{-1}\end{array}$$
と求まる。

言うまでもなく、
$$P^{\mathrm{T}}+P^{\mathrm{R}}=1$$
が成立している。

(5) $E=\frac{V_0}{2}$から
$$\kappa =\sqrt{\frac{m{V}_0}{{\hslash }^2}}$$
であり、さらに$V_0\gg {\hslash }^2/(m{a}^2)$なる条件から
$$\kappa a\gg 1$$
が導かれる。この時
$$\sinh (\kappa a)\sim \frac{{\mathrm{e}}^{\kappa a}}{2}$$
なので、
$$\begin{array}{rl}{P}^{\mathrm{T}}& ={\{1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(\kappa a)}{4\frac{V_0}{2}\frac{V_0}{2}}\}}^{-1}\\ & \sim 4{\mathrm{e}}^{-2\kappa a}\end{array}$$
と求まる。