コヒーレント状態の規格化｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

1次元調和振動子の生成・消滅演算子を各々 ${\hat{a}}^{†}, \hat{a}$ とし、基底状態を $| 0 ⟩$ とする。
この時、以下で定義される状態をコヒーレント状態という。
ここで定義されたコヒーレント状態は規格化されている事を示せ。（ここで、基底状態は規格化されているとする。（ $⟨ 0 | 0 ⟩ = 1$ ）
$| α ⟩ = e^{- \frac{| α |^{2}}{2}} e^{α {\hat{a}}^{†}} | 0 ⟩$

以前の問題の「1次元調和振動子の第2量子化とコヒーレント状態」において、コヒーレント状態

| α ⟩

は消滅演算子

\hat{a}

の固有状態であり、その固有値が

α

である事を使う。

$\begin{aligned} ⟨ α | α ⟩ & = e^{- \frac{| α |^{2}}{2}} ⟨ 0 | (e^{α^{*} \hat{a}} | α ⟩) \\ = e^{- \frac{| α |^{2}}{2}} ⟨ 0 | e^{| α |^{2}} | α ⟩ \\ = e^{\frac{| α |^{2}}{2}} ⟨ 0 | (e^{- \frac{| α |^{2}}{2}} e^{α {\hat{a}}^{†}} | 0 ⟩) \\ = (⟨ 0 | e^{α^{*} \hat{a}}) | 0 ⟩ \\ = ⟨ 0 | 0 ⟩ \\ = 1 \end{aligned}$

ここで、
$e^{α^{*} \hat{a}} | 0 ⟩ = | 0 ⟩$
を使った。

また、コヒーレント状態が消滅演算子の固有状態である事を使わなくても、以前の問題の「演算子において成り立つ関係式」を使う事によっても示すことが出来る。
すなわち、演算子 $\hat{A}, \hat{B}$ において $[\hat{B}, \hat{A}]$ がc数である時
$e^{\hat{A} + \hat{B}} = e^{\frac{1}{2} [\hat{B}, \hat{A}]} e^{\hat{A}} e^{\hat{B}}$
が成り立つことを使う。

ここで、
$\hat{A} = α {\hat{a}}^{†}, \hat{B} = α^{*} \hat{a}$
と
$\hat{A} = α^{*} \hat{a}, \hat{B} = α {\hat{a}}^{†}$
について上記の関係式を書くと
$\begin{aligned} e^{α {\hat{a}}^{†} + α^{*} \hat{a}} & = e^{\frac{| α |^{2}}{2}} e^{α {\hat{a}}^{†}} e^{α^{*} \hat{a}} \\ e^{α^{*} \hat{a} + α {\hat{a}}^{†}} & = e^{- \frac{| α |^{2}}{2}} e^{α^{*} \hat{a}} e^{α {\hat{a}}^{†}} \end{aligned}$
となるが、この2式は等しいので
$e^{| α |^{2}} e^{α {\hat{a}}^{†}} e^{α^{*} \hat{a}} = e^{α^{*} \hat{a}} e^{α {\hat{a}}^{†}}$
が成り立つことが分かる。

問題で定義された、コヒーレント状態のノルムを計算すると
$\begin{aligned} ⟨ α | α ⟩ & = e^{- | α |^{2}} ⟨ 0 | (e^{α^{*} \hat{a}} e^{α {\hat{a}}^{†}} | 0 ⟩) \\ = e^{- | α |^{2}} e^{| α |^{2}} ⟨ 0 | (e^{α {\hat{a}}^{†}} e^{α^{*} \hat{a}} | 0 ⟩) \\ = (⟨ 0 | e^{α^{*} \hat{a}}) | 0 ⟩ \\ = ⟨ 0 | 0 ⟩ \\ = 1 \end{aligned}$
となり、題意が示された。