変形Euler方程式

$f$が陽に$x$を含まない事を明示するために多少面倒であるが$f(y,y^{\prime })$と書く事にする。

天下り的であるが、変形 Euler の方程式の左辺の時間による全微分を計算する。
$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(y,y^{\prime })–y^{\prime }\frac{\partial f(y,y^{\prime })}{\partial y^{\prime }})\\ & =\frac{\partial f(y,y^{\prime })}{\partial y}{y}^{\prime }+\frac{\partial f(y,y^{\prime })}{\partial y^{\prime }}y”–y”\frac{\partial f(y,y^{\prime })}{\partial y^{\prime }}–(y^{\prime }{)}^2\frac{{\partial }^{2}f(y,y^{\prime })}{\partial y\partial y^{\prime }}–y^{\prime }y”\frac{{\partial }^{2}f(y,y^{\prime })}{\partial y^{\prime 2}}\\ & =y^{\prime }\{\frac{\partial f(y,y^{\prime })}{\partial y}–y^{\prime }\frac{{\partial }^{2}f(y,y^{\prime })}{\partial y\partial y^{\prime }}–y”\frac{{\partial }^{2}f(y,y^{\prime })}{\partial y^{\prime 2}}\}\end{array}$$

一方で Euler の方程式は
$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial f(y,y^{\prime })}{\partial y^{\prime }}\right)–\frac{\partial f(y,y^{\prime })}{\partial y}=0\\ & \frac{{\partial }^{2}f(y,y^{\prime })}{\partial y\partial y^{\prime }}{y}^{\prime }+\frac{{\partial }^{2}f(y,y^{\prime })}{\partial y^{\prime 2}}y”–\frac{\partial f(y,y^{\prime })}{\partial y}=0\end{array}$$
と書きかえる事が出来る。

先の式の$\{\cdots \}$の中身が Euler の方程式の左辺の符合を変えた物に等しい事から、「$y^{\prime }$が恒等的に$0$でないとする」と、Euler の方程式が成り立つことと、上式の$\{\cdots \}$が定数である事は同値である。