Pauli行列の性質3

Pauli行列の性質3(816)特殊相対性理論

便宜上、ベクトルの成分を、$x,y,z$ の代わりに $1,2,3$ と各々書くことにする。

Einstein の縮約を使えば
$$\begin{array}{rcl}(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{A})(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{B})& =& {\sigma }_k{\sigma }_l{A}_k{B}_l\\ & =& [\frac{1}{2}({\sigma }_k{\sigma }_l+{\sigma }_l{\sigma }_k)+\frac{1}{2}({\sigma }_k{\sigma }_l–{\sigma }_l{\sigma }_k)]A_k{B}_l\end{array}$$
と書けるが、Pauli 行列が次の性質を持つことに注意すれば
$$\begin{array}{rcl}[{\sigma }_k,{\sigma }_l]& =& 2{\delta }_{k,l}{\sigma }_0\\ \{{\sigma }_k,{\sigma }_l\}& =& 2i{ϵ}_{k,l,m}{\sigma }_m\end{array}$$
上式は
$$\begin{array}{rcl}(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{A})(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{B})& =& [{\delta }_{k,l}+i{ϵ}_{k,l,m}{\sigma }_m]A_k{B}_l\\ & =& (\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B})+i\overrightarrow{\sigma }\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\end{array}$$
と書けることが分かる。

ここに、$[\cdot ,\cdot ]$ は反交換関係、$\{\cdot ,\cdot \}$ は交換関係を表す。