順序集合 $(X, \le)$ を考える。
このとき、$\forall x’ \in X$ に対して $x’ \le x$ となるとき、$x = {\rm max}X$ と表し、$x$ を $X$ の最大元という。
また、$\forall x’ \in X$ に対して $x \le x’$ となるとき、$x = {\rm min}X$ と表し、$x$ を $X$ の最小元という。
最大元、あるいは最小元が存在するとするとき、一意的であることを示せ。
先ず、$X$ において最大元が複数存在するとする。それらの中から任意に2つを取り $x_1, x_2$ とする。
このとき、$x_1$ が $X$ の最大元であることより
\begin{align}
x_2 \le x_1
\end{align}
が成り立つ。
さらに、$x_2$ が最大元であることより
\begin{align}
x_1 \le x_2
\end{align}
が成り立つ。
ここで反対称律より $x_1 = x_2$ が言える。
これより、最大元は存在するとすれば一意的であることが分かる。
全く同様の議論で、最小元も存在すれば一意的であることが分かる。
