順序集合における最大元と最小元

先ず、$X$ において最大元が複数存在するとする。それらの中から任意に2つを取り $x_1,x_2$ とする。
このとき、$x_1$ が $X$ の最大元であることより
$$\begin{array}{r}{x}_2\le x_1\end{array}$$
が成り立つ。
さらに、$x_2$ が最大元であることより
$$\begin{array}{r}{x}_1\le x_2\end{array}$$
が成り立つ。

ここで反対称律より $x_1=x_2$ が言える。
これより、最大元は存在するとすれば一意的であることが分かる。

全く同様の議論で、最小元も存在すれば一意的であることが分かる。