集合の濃度

(1) $X$と$Y$の濃度は同じである。なぜなら次のような全単射写像$f:X\to Y$が存在するからである。

任意の$X$の元$x$は整数$k$を使って$x=4k$と書ける。この時$f(x)$を
$$\begin{array}{ll}k=0\text{の時}& f(x)=5\\ k>0\text{の時}& f(x)=10k\\ k<0\text{の時}& f(x)=-10k+5\end{array}$$
とすれば、$f$は$X$から$Y$への全単射写像となる。$$

(2) 対等でない。

なぜなら、$X$の濃度は有限で$48$であるのに対して、$Y$の濃度は実数の濃度と同じで$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$であるからである。$$

(3) 対等である。なぜなら次のような全単射写像$f:X\to Y$が存在するからである。

任意の$X$の元$x$について
$$f(x)=100–\frac{110}{5}x$$
なる写像$f$を考えれば良い。