$A, B$ を集合 $X$ の部分集合とするとき $A, B$ の集合差 $A \ominus B$ を以下で定義する。
\begin{align}
A \ominus B &= (A \backslash B) \cup (B \backslash A)
\end{align}
このとき
(1) $A \ominus X = A^c$
(2) $A \ominus A^c = X$
(3) $A \ominus B = (A \cup B)\backslash(A \cap B)$
が成り立つことを示せ。
(1)
\begin{align}
A \ominus X &= (A \backslash X) \cup (X \backslash A) \\
&= \emptyset \cup A^c \\
&= A^c
\end{align}
(2)
\begin{align}
A \ominus A^c &= (A \backslash A^c) \cup (A^c \backslash A) \\
&= A \cup A^c \\
&= X
\end{align}
(3)
\begin{align}
(A \cup B)\backslash(A \cap B) &= (A \cup B) \cap (A \cap B)^c \\
&= (A \cup B) \cap (A^c \cup B^c) \\
&= ((A \cup B) \cap A^c) \cup ((A \cup B) \cap B^c) \\
&= ((A \cap A^c) \cup (B \cap A^c)) \cup ((A \cap B^c) \cup (B \cap B^c)) \\
&= (\emptyset \cup (B \cap A^c)) \cup ((A \cap B^c) \cup \emptyset) \\
&= (B \cap A^c) \cup (A \cap B^c) \\
&= (B \backslash A) \cup (A \backslash B) \\
&= A \ominus B
\end{align}
