$a \in \mathbb{R}^n$ とするとき
\begin{align}
\bigcap_{k = 1}^{\infty} B\left(a; \frac{1}{k}\right) &= \{a\}
\end{align}
を示せ。
先ず、任意の $k \in \mathbb{N}$ について
\begin{align}
a \in B\left(a: \frac{1}{k}\right)
\end{align}
が成り立つ。
次に、もし、$b(\neq a) \in \mathbb{R}^n$ が
\begin{align}
b \in \bigcap_{k = 1}^{\infty} B\left(a; \frac{1}{k}\right)
\end{align}
と仮定する。
このとき、$a \neq b$ より $d(a, b) > 0$ である。
従って、ある $K \in \mathbb{N}$ が存在して、$k > K$ について
\begin{align}
\frac{1}{k} &< d(a, b)
\end{align}
が成り立つ。
これは
\begin{align}
b \notin B\left(a; \frac{1}{k}\right)
\end{align}
を意味し
\begin{align}
b \in \bigcap_{k = 1}^{\infty} B\left(a; \frac{1}{k}\right)
\end{align}
に矛盾する。
従って
\begin{align}
\bigcap_{k = 1}^{\infty} B\left(a; \frac{1}{k}\right) &= \{a\}
\end{align}
が言える。
