開集合族の共通部分

先ず、任意の $k\in \mathbb{N}$ について
$$\begin{array}{r}a\in B(a:\frac{1}{k})\end{array}$$
が成り立つ。

次に、もし、$b(\ne a)\in {\mathbb{R}}^n$ が
$$\begin{array}{r}b\in \bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}B(a;\frac{1}{k})\end{array}$$
と仮定する。
このとき、$a\ne b$ より $d(a,b)>0$ である。
従って、ある $K\in \mathbb{N}$ が存在して、$k>K$ について
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{k}& <d(a,b)\end{array}$$
が成り立つ。
これは
$$\begin{array}{r}b\notin B(a;\frac{1}{k})\end{array}$$
を意味し
$$\begin{array}{r}b\in \bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}B(a;\frac{1}{k})\end{array}$$
に矛盾する。

従って
$$\begin{array}{rl}\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}B(a;\frac{1}{k})& =\{a\}\end{array}$$
が言える。