連続写像

先ず (1) $\Rightarrow$ (2) を示す。
$f$ が連続写像であるとする。このとき
\begin{align}
A \subset f^{-1}(f(A)) \subset f^{-1}(\overline{f(A)})
\end{align}
より、$A \subset f^{-1}(\overline{f(A)})$ が成り立つ。
ここで、$\overline{f(A)}$ は $Y$ の閉集合であり、$f$ は連続写像であるので、$f^{-1}(\overline{A})$ は $X$ の閉集合である。
従って $\overline{A} \subset f^{-1}(\overline{f(A)})$ となる。
これより
\begin{align}
f(\overline{A}) \subset f(f^{-1}(\overline{f(A)})) \subset \overline{f(A)}
\end{align}
が言える。すなわち
\begin{align}
f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}
\end{align}
が成り立つ。

次に (1) $\Leftarrow$ (2) を示す。
$\forall A \subset X$ に対して、$f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$ が成り立つとする。
$Y$ の任意の閉集合 $F$ を考えて、$A = f^{-1}(F)$ とする。
このとき
\begin{align}
f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)} = \overline{f(f^{-1}(F))} \subset \overline{F} = F
\end{align}
が成り立つ。すなわち
\begin{align}
f(\overline{A}) \subset F
\end{align}
となる。従って
\begin{align}
\overline{A} \subset f^{-1}(f(\overline{A})) \subset f^{-1}(F) = A
\end{align}
となり、$\overline{A} \subset A$ が成り立つ。
一方で、$A \subset \overline{A}$ であるので、$\overline{A} = A$ が言える。
従って、$A$ は閉集合である。
すなわち、任意の閉集合の逆像が閉集合であることが示せた。
これより、写像 $f$ は連続写像であることが分かる。

以上により、(1) $\Leftrightarrow$ (2) が言える。