連続写像

先ず (1) $\Rightarrow$ (2) を示す。
$f$ が連続写像であるとする。このとき
$$\begin{array}{r}A\subset f^{-1}(f(A))\subset f^{-1}(\overline{f(A)})\end{array}$$
より、$A\subset f^{-1}(\overline{f(A)})$ が成り立つ。
ここで、$\overline{f(A)}$ は $Y$ の閉集合であり、$f$ は連続写像であるので、$f^{-1}(\bar{A})$ は $X$ の閉集合である。
従って $\bar{A}\subset f^{-1}(\overline{f(A)})$ となる。
これより
$$\begin{array}{r}f(\bar{A})\subset f(f^{-1}(\overline{f(A)}))\subset \overline{f(A)}\end{array}$$
が言える。すなわち
$$\begin{array}{r}f(\bar{A})\subset \overline{f(A)}\end{array}$$
が成り立つ。

次に (1) $\Leftarrow$ (2) を示す。
$\mathrm{\forall }A\subset X$ に対して、$f(\bar{A})\subset \overline{f(A)}$ が成り立つとする。
$Y$ の任意の閉集合 $F$ を考えて、$A=f^{-1}(F)$ とする。
このとき
$$\begin{array}{r}f(\bar{A})\subset \overline{f(A)}=\overline{f(f^{-1}(F))}\subset \bar{F}=F\end{array}$$
が成り立つ。すなわち
$$\begin{array}{r}f(\bar{A})\subset F\end{array}$$
となる。従って
$$\begin{array}{r}\bar{A}\subset f^{-1}(f(\bar{A}))\subset f^{-1}(F)=A\end{array}$$
となり、$\bar{A}\subset A$ が成り立つ。
一方で、$A\subset \bar{A}$ であるので、$\bar{A}=A$ が言える。
従って、$A$ は閉集合である。
すなわち、任意の閉集合の逆像が閉集合であることが示せた。
これより、写像 $f$ は連続写像であることが分かる。

以上により、(1) $\iff$ (2) が言える。