$X$ を位相空間とし、$A, B \subset X$ とする。
このとき、$A$ が連結であり、$A \subset B \subset \overline{A}$ が成り立つならば、$B$ は連結であることを示せ。
背理法により示す。
$B$ が連結でないとする。
このとき、定値写像でない連続写像 $f: B \to \{p, q\}$ が存在する。
$f$ は連続であり、$A$ は $B$ の部分空間であるので、$f$ の $A$ への制限 $f|_A: A \to \{p, q\}$ は連続である。
さらに、$A$ は連結であるので、$f|_A$ は定値写像である。
従って、$f|_A$ は $p$ に値を取ると仮定して一般性は失わない。
すなわち $A \subset f^{-1}(p)$ としても良い。
さらに $f$ は定値写像でないので、$\exists x \in B, f(x) = q$ となる。
このとき、$A \cap f^{-1}(q) = \emptyset$ である。
ここで、$\{q\}$ は $\{p, q\}$ の開集合であるので、$f^{-1}(q)$ は $B$ の開集合となる。
すなわち $X$ のある開集合 $O$ が存在して、$f^{-1}(q) = O \cap B$ となる。
従って、$x \in O, A \cap O = \emptyset$ となるので、$x$ は $A$ の外点である。
一方で、$x \in B, B \subset \overline{A}$ より、$x \in \overline{A}$ であるので、$x$ は $A$ の外点ではない。
これは矛盾である。
従って、$B$ は連結であることが示された。
