距離空間の例｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$[0, 1] \subset R$ で定義された実数値連続関数全体の集合を　 $C [0, 1]$ と表す。
このとき、実数値関数 $d : C [0, 1] \times C [0, 1] \to R$ を
$\begin{aligned} d (f, g) & = \int_{0}^{1} | f (x) - g (x) | d x (f, g, \in C [0, 1]) \end{aligned}$
により定める。
このとき、以下の問いに答えよ。

(1)
$d$ は $C [0, 1]$ の距離となることを示せ。

(2)
実数値関数 $Φ : C [0, 1] \to R$ を
$\begin{aligned} Φ (f) & = f (1) (f \in C [0, 1]) \end{aligned}$
により定める。 $C [0, 1]$ の点列 ${f_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ を
$\begin{aligned} f_{n} (x) & = x^{n} (x \in [0, 1]) \end{aligned}$
により定め、 ${f_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ と ${Φ (f_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ の極限を調べることにより、 $Φ$ は連続でないことを示せ。

(1)
先ず、 $f, g \in C [0, 1]$ $d (f, g) \geq 0$ は明らかである。
また、 $d (f, g) = 0$ のとき、任意の $x \in [0, 1]$ について $f (x) = g (x)$ となり、 $f = g$ が成り立つ。
従って、正値性は成り立つ。

次に、対称性 $d (f, g) = d (g, f)$ は明らかである。

最後に、 $f, g, h \in C [0, 1]$ とするときに、三角不等式を示す。
$\begin{aligned} d (f, h) & = \int_{0}^{1} | f (x) - h (x) | d x \\ = \int_{0}^{1} | (f (x) - g (x)) - (h (x) - g (x)) | d x \\ \leq \int_{0}^{1} | f (x) - g (x) | d x + \int_{0}^{1} | h (x) - g (x) | d x \\ = d (f, g) + d (h, g) \\ = d (f, g) + d (g, h) \end{aligned}$
以上の計算より、三角不等式も成り立つ。

従って、 $d$ は $C [0, 1]$ における距離となる。

(2)
先ず
$\begin{aligned} d (f_{n}, 0) & = \int_{0}^{1} | x^{n} - 0 | d x \\ = \frac{1}{n + 1} \end{aligned}$
より、 $lim_{n \to \infty} d (f_{n}, 0) = 0$ となるので、 $lim_{n \to \infty} f_{n} = 0$ でが言える。

ここで、 $Φ (0) = 0$ と $n \in N$ のときに $Φ (f_{n}) = 1^{n} = 1$ に注意すると、 $lim_{n \to \infty} Φ (f_{n}) = 1$ となり、 $Φ (0) = 0$ には収束しない。
従って、 $Φ$ は 0 で連続でない。
つまり、 $Φ$ は連続ではないことが分かる。