$n$ 次元複素ユークリッド空間 $\mathbb{C}^n$ と $2n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{2n}$ は同相であることを示せ。
なお、$\mathbb{C}^n$ には複素内積空間から決まるノルムと距離が定められているとする。
$z \in \mathbb{C}^n$ を $z = (a_1 + b_1 i, \cdots, a_n + b_n i)$ とする。ここに $a_i, b_i \in \mathbb{R}$ とする。
$z$ に対して $f(z) = (a_1, b_1, \cdots, a_n, b_n)$ と置くと、$f$ は $\mathbb{C}^n$ から $\mathbb{R}^{2n}$ への全単射等長写像を定める。
従って
\begin{align}
\mathbb{C}^n \cong \mathbb{R}^{2n}
\end{align}
が言える。
