第一加算公理｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$X$ を第一可算公理を満たす位相空間とする。

(1)
$O$ を $X$ の空でない部分集合とするとき
「任意の $a \in O$ および $a$ に収束する $X$ の任意の点列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ に対して、ある $N \in N$ が存在し、 $n \geq N (n \in N)$ ならば、 $a_{n} \in O$ となる」ならば、 $O$ は $X$ の開集合であることを示せ。

(2)
$A$ を $X$ の空でない部分集合とする。
「 $A$ の任意の収束する点列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ に対して、 $lim_{n \to \infty} a_{n} \in A$ となる」ならば、 $A$ は $X$ の閉集合であることを示せ。

(1)

対偶を示す。
$O$ が $X$ の開集合でないとする。
このとき、ある $a \in O$ が存在して、 $a$ の任意の近傍 $U$ に対して $U ⊄ O$ となる。
ここで $X$ は第一可算公理を満たすので、 $a$ のある可算基本近傍系 $(U_{n})_{n \in N}$ が存在して
$\begin{array}{r} U_{1} \supset U_{2} \supset \dots U_{n} \supset \dots \end{array}$
となる。
従って、 $n \in N$ に対して、 $a_{n} \in U_{n}$ を $a_{n} \notin O$ となるように取ることが出来る。
このとき、 $X$ の点列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ は $a$ に収束するが、任意の $n \in N$ に対して $a_{n} \notin O$ である。

(2)
対偶を示す。
$A$ が $X$ の閉集合でないとする。
このとき、 $X ∖ A$ は開集合ではない。
$X$ は第一可算公理を満たすので、(1) の結果より、ある $a \in X ∖ A$ および、 $a$ に収束する $X$ の点列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ が存在し、ある $k \in N$ が存在して、 $n_{k} \geq k$ となる $n_{k} \in N$ に対して、 $a_{n_{k}} \notin X ∖ A$ すなわち、 $a_{n_{k}} \in A$ となるものが存在する。