積位相｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

位相空間族 $((X_{λ}, D_{λ}))_{λ \in Λ}$ に対して、 $X = \prod_{λ \in Λ} x_{λ}$ とし、 $((X_{λ}, D_{λ}))_{λ \in Λ}$ の積位相を考える。
また、 $λ \in Λ$ に対して、 $p_{λ} : X \to X_{λ}$ を射影とする。
さらに、 $(Y, D_{Y})$ を位相空間、 $f : Y \to X$ を写像とする。
このとき、 $f$ が連続であることと、 $\forall λ \in Λ, p_{λ} \circ f$ が連続であることが同値であることを示せ。

先ず、 $f : Y \to X$ が連続であるとする。
任意の $λ \in Λ$ について、 $p_{λ}$ は連続である。
従って、 $p_{λ} \circ f$ は連続となる。

次に、任意の $λ \in Λ$ に対して、 $p_{λ} \circ f$ が連続であるとする。
$O \in D_{λ}$ とすると
$\begin{array}{r} f^{- 1} (p_{λ}^{- 1} (O)) = (p_{λ} \circ f)^{- 1} (O) \in D_{Y} \end{array}$
となる。
つまり、 $\cup_{λ \in Λ} p_{λ}^{- 1} (O)$ は $((X_{λ}, D_{λ}))_{λ \in Λ}$ の準基底となる。
従って、先の問題より $f$ は連続である。