位相空間族 $((X_\lambda, \mathfrak{D}_\lambda))_{\lambda \in \Lambda}$ に対して、$X = \prod_{\lambda \in \Lambda} x_\lambda$ とし、$((X_\lambda, \mathfrak{D}_\lambda))_{\lambda \in \Lambda}$ の積位相を考える。
また、$\lambda \in \Lambda$ に対して、$p_\lambda: X \to X_{\lambda}$ を射影とする。
さらに、$(Y, \mathfrak{D}_Y)$ を位相空間、$f: Y \to X$ を写像とする。
このとき、$f$ が連続であることと、$\forall \lambda \in \Lambda, p_\lambda \circ f$ が連続であることが同値であることを示せ。
先ず、$f: Y \to X$ が連続であるとする。
任意の $\lambda \in \Lambda$ について、$p_\lambda$ は連続である。
従って、$p_\lambda \circ f$ は連続となる。
次に、任意の $\lambda \in \Lambda$ に対して、$p_\lambda \circ f$ が連続であるとする。
$O \in \mathfrak{D}_\lambda$ とすると
\begin{align}
f^{-1}(p_\lambda^{-1}(O)) = (p_\lambda \circ f)^{-1}(O) \in \mathfrak{D}_Y
\end{align}
となる。
つまり、$\cup_{\lambda \in \Lambda} p_\lambda^{-1}(O)$ は $((X_\lambda, \mathfrak{D}_\lambda))_{\lambda \in \Lambda}$ の準基底となる。
従って、先の問題より $f$ は連続である。
以上の議論より、題意が示された。
