相対位相

$B$ の ${\mathfrak{D}}_A,\mathfrak{D}$ に関する相対位相を各々 ${\mathfrak{D}}^{\prime },{\mathfrak{D}}^{\prime \prime }$ とする。

先ず、${\mathfrak{D}}^{\prime }\subset {\mathfrak{D}}^{\prime \prime }$ を示す。
$\mathrm{\forall }O\in {\mathfrak{D}}^{\prime }$ を考える。
このとき、$\mathrm{\exists }{O}^{\prime }\in {\mathfrak{D}}_A,O=O^{\prime }\cap B$ が成り立つ。
さらに、$\mathrm{\exists }{O}^{\prime \prime }\in \mathfrak{D},O^{\prime }=O”\cap A$ が成り立つ。
従って
$$\begin{array}{rl}O& =(O^{\prime \prime }\cap A)\cap B\\ & =O^{\prime \prime }\cap (A\cap B)\\ & =O^{\prime \prime }\cap B\end{array}$$
となる。最後の等式で $B\subset A$ を使った。
これより、$O\in {\mathfrak{D}}^{\prime }$ となり、${\mathfrak{D}}^{\prime }\subset {\mathfrak{D}}^{\prime \prime }$ が言える。

次に、${\mathfrak{D}}^{\prime }\supset {\mathfrak{D}}^{\prime \prime }$ を示す。
$\mathrm{\forall }O\in {\mathfrak{D}}^{\prime \prime }$ を考える。
このとき、$\mathrm{\exists }{O}^{\prime \prime }\in \mathfrak{D},O=O^{\prime \prime }\cap B$ が成り立つ。
従って
$$\begin{array}{rl}O& =O\cap A\\ & =(O^{\prime \prime }\cap B)\cap A\\ & =(O^{\prime \prime }\cap A)\cap B\end{array}$$
が成り立つ。
ここで $O^{\prime \prime }\cap A\in {\mathfrak{D}}_A$ に注意すると、$O\in {\mathfrak{D}}^{\prime \prime }$ が言える。
つまり、${\mathfrak{D}}^{\prime }\supset {\mathfrak{D}}^{\prime \prime }$ が成り立つ。

以上の議論より ${\mathfrak{D}}^{\prime }={\mathfrak{D}}^{\prime \prime }$ が言えるので、題意が示された。