$\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ を自然数 $\mathbb{N}$ によって添字付けられた集合族とする。
このとき、以下を示せ。
(1) $\forall n \in \mathbb{N}$ に対して $A_n \supset A_{n + 1}$ ならば
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} A_n &= \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n
\end{align}
が成り立つ。
(2) $\forall n \in \mathbb{N}$ に対して $A_n \supset A_{n + 1}$ ならば
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} &= \bigcap_{n = 1}^{\infty} A_n
\end{align}
が成り立つ。
(1)
先ず、極限集合の定義により
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} {\rm sup} A_n &= \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n
\end{align}
が成り立つ。これは $k = 1$ の場合を考えてみれば導かれる。
さらに $\forall n \in \mathbb{N}$ に対して $A_n \subset A_{n + 1}$ であるので
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} {\rm inf} A_n &= \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n \\
&= \bigcup_{k = 1}^{\infty} A_k
\end{align}
が成り立つ。
従って
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{\rm sup} A_n \subset \lim_{n \to \infty} {\rm inf}A_n
\end{align}
が成り立つ。
一方で、一般的に
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{\rm inf} A_n \subset \lim_{n \to \infty}{\rm sup}A_n
\end{align}
が成り立つので、結局
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{\rm inf}A_n = \lim_{n \to \infty}{\rm sup}A_n = \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n
\end{align}
となり、$\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ は $\bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n$ に収束することが分かる。
(2)
(1) と同様に、$\forall n \in \mathbb{N}$ に対して $A_n \supset A_{n + 1}$ であるので
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{\rm sup}A_n &= \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n \\
&= \bigcap_{k = 1}^{\infty} A_k
\end{align}
が成り立つ。
また
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{\rm inf}A_n &= \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n \supset \bigcap_{n = 1}^{\infty} A_n
\end{align}
が成り立つ。
従って
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{\rm sup} A_n \subset \lim_{n \to \infty}{\rm inf}A_n
\end{align}
が成り立つ。
一方で一般的に
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} {\rm inf}A_n \subset \lim_{n \to \infty} {\rm sup}A_n
\end{align}
が成り立つので
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{\rm sup}A_n &= \lim_{n \to \infty}{\rm inf}A_n = \bigcap_{n = 1}^{\infty}A_n
\end{align}
となり、題意が示された。
