整列集合の性質

$\mathrm{\forall }x\in A$ とするとき、$y,y^{\prime }\in Y$ について
$$\begin{array}{rl}X⟨x⟨& \cong Y⟨y⟩\\ X⟨x⟨& \cong Y⟨y^{\prime }⟩\end{array}$$
とすると
$$\begin{array}{r}Y⟨y⟨\cong Y⟨y^{\prime }⟩\end{array}$$
となるので、$y=y^{\prime }$ が得られる。従って、$x\in A$ に対して一意的に $y\in Y$ が定まることが分かる。

次に、写像 $f:x\mapsto y$ が順序を保つ単射であることを示す。
それには、$x_1,x_2\in A$ について
$$\begin{array}{r}{x}_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\end{array}$$
が成り立つことを示せば良い。

先ず
$$\begin{array}{r}X⟨x_2⟩\cong Y⟨f(x_2)⟩\end{array}$$
であるので、ある順序同型写像 $g:X⟨x_2⟩\to Y⟨f(x_2)⟩$ が存在する。
さらに、この写像 $g$ は順序同型写像であるので $g:X⟨x_2⟩\to Y⟨g(x_2)⟩$ となり、
$$\begin{array}{r}⟨f(x_2)⟩\cong Y⟨g(x_2)⟩\end{array}$$
が言えて、$f(x_2)=g(x_2)$ が分かる。
また、$x_1<x_2$ のとき $g(x_1)<g(x_2)$ も言える。

さらに
$$\begin{array}{rl}g(X⟨x_1⟩)& =g((X⟨x_2⟩)⟨x_1⟩)\\ & =(Y⟨f(x_2)⟩)⟨g(x_1)⟩\\ & =(Y⟨g(x_2)⟩)⟨g(x_1)⟩\\ & =Y⟨g(x_1)⟩\end{array}$$
が導かれる。

すなわち
$$\begin{array}{r}X⟨x_1⟩\cong Y⟨g(x_1)⟩\cong Y⟨f(x_1)⟩\end{array}$$
より、$g(x_1)=f(x_1)$ が得られる。

従って
$$\begin{array}{r}f(x_1)=g(x_1)<g(x_2)=f(x_2)\end{array}$$
が導かれ、題意が示される。