整列定理の応用

整列定理を用いて、$X,Y$ を各々整列集合にする。
このとき、整列集合の比較定理により、次の (a), (b), (c) のいずれか1つのみが成り立つ。

(a) $X\cong Y$
(b) $\mathrm{\exists }b\in Y,X\cong Y⟨b⟩$
(c) $\mathrm{\exists }a\in X,X⟨a⟩\cong Y$

ここで (a) が成り立つときには、$X\sim Y$ すなわち、(1) が成り立つ。
(b) が成り立つときには、$X$ から $Y$ への単射が存在する。よって、(1) または (2) が成り立つ。
(c) が成り立つときには、$Y$ から $X$ への単射が存在する。よって、(1) または (3) が成り立つ。

さらに、ベルンシュタインの定理により、(1) と (2) が同時に成り立つことはない。
同様に、(1) と (3) が同時に成り立つことはない。

従って、(1), (2), (3) のうち、どれか1つのみが成り立つことが分かる。