数列の有界性｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

${a_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ を $R^{n}$ の点列とする。
ある $M > 0$ が存在して、任意の $k \in N$ に対して
$\begin{array}{r} ‖ a_{k} ‖ \leq M \end{array}$
となるとき、数列 ${a_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ は有界であるという。

$R^{n}$ において収束する点列は有界であることを示せ。

${a_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ を $R^{n}$ における収束する数列とし、その収束値を $α$ とする。すなわち
$\begin{aligned} lim_{k \to \infty} a_{k} & = α \end{aligned}$
であるとする。このとき、 $\forall ϵ > 0$ に対して、 $\exists N \in N, n > N$ ならば
$\begin{array}{r} ‖ a_{n} - α ‖ < ϵ \end{array}$
が成り立つ。三角不等式より、このような $n > N$ に対して、
$\begin{aligned} ‖ a_{n} ‖ - ‖ α ‖ & \leq ‖ a_{n} - α ‖ < ϵ \\ ‖ a_{n} ‖ & < ϵ + ‖ α ‖ \end{aligned}$
が成り立つので、 $M > 0$ を
$\begin{aligned} M & = m a x {‖ a_{1} ‖, ‖ a_{2} ‖, \dots, ‖ a_{N} ‖, ϵ + ‖ α ‖} \end{aligned}$
とすると、任意の $n \in N$ に対して
$\begin{array}{r} ‖ a_{n} ‖ \leq M \end{array}$
が成り立ち、数列 ${a_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ は有界であることが分かる。