(1) $(X, \mathfrak{D})$ を位相空間、$(A_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ を $X$ の連結部分集合からなる集合族とし
\begin{align}
A &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}
\end{align}
とする。このとき、任意の $\lambda, \mu \in \Lambda$ に対して、$A_{\lambda} \cap A_{\mu} \neq \emptyset$ ならば、$A$ は連結であることを示せ。
(2) 弧状連結空間は連結であることを示せ。
(1)
$f: A \to \{p, q\}$ を連続写像とし、$\lambda_0 \in \Lambda$ と $x_0 \in A_{\lambda_0}$ を固定する。
このとき、必要があれば $p, q$ を入れ替えることにより、$f(x_0) = p$ として一般性は失わない。
先ず、$f$ の $A_{\lambda_0}$ への制限 $f|_{A_{\lambda_0}} \to \{p, q\}$ は連続である。
また、$A_{\lambda_0}$ は連結であるので、$f|_{A_{\lambda_0}}$ は定値写像である。
すなわち、$f|_{A_{\lambda_0}}$ は $A_{\lambda_0}$ 上で常に $p$ という値を持つ。
ここで、$\lambda \in \Lambda$ を考える。
今、仮定より $A_{\lambda_0} \cap A_{\lambda} = \emptyset$ であるので、$f(x) = p$ となる $x \in A_{\lambda}$ が存在する。
このとき、先の議論により、$f|_{A_{\lambda}}$ は $A_{\lambda}$ 上で $p$ を値にとる。
$\lambda \in \Lambda$ は任意であるので、$f$ は $A$ 上で $p$ に値をとる定値写像であることが分かる。
従って、$A$ は連結であることが分かる。
(2)
$X$ を弧状連結空間として、$x_0 \in X$ を固定する。
$\forall x \in X$ に対して、$X$ は弧状連結なので、$x_0$ と $x$ を結ぶ $X$ の道 $\gamma_x : [0, 1] \to X$ が存在する。
$\gamma_x$ は連続であるので $\gamma_x([0, 1])$ は連結である。
さらに
\begin{align}
X &= \bigcup_{x \in X} \gamma_x([0, 1])
\end{align}
を考えれば、(1) の条件を満たし、$X$ は連結であることが分かる。
