弧状連結空間は連結

(1)
$f:A\to \{p,q\}$ を連続写像とし、${\lambda }_0\in \mathrm{\Lambda }$ と $x_0\in A_{{\lambda }_0}$ を固定する。
このとき、必要があれば $p,q$ を入れ替えることにより、$f(x_0)=p$ として一般性は失わない。

先ず、$f$ の $A_{{\lambda }_0}$ への制限 $f{|}_{A_{{\lambda }_0}}\to \{p,q\}$ は連続である。
また、$A_{{\lambda }_0}$ は連結であるので、$f{|}_{A_{{\lambda }_0}}$ は定値写像である。
すなわち、$f{|}_{A_{{\lambda }_0}}$ は $A_{{\lambda }_0}$ 上で常に $p$ という値を持つ。

ここで、$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ を考える。
今、仮定より $A_{{\lambda }_0}\cap A_{\lambda }=\mathrm{\varnothing }$ であるので、$f(x)=p$ となる $x\in A_{\lambda }$ が存在する。
このとき、先の議論により、$f{|}_{A_{\lambda }}$ は $A_{\lambda }$ 上で $p$ を値にとる。
$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ は任意であるので、$f$ は $A$ 上で $p$ に値をとる定値写像であることが分かる。

従って、$A$ は連結であることが分かる。

(2)
$X$ を弧状連結空間として、$x_0\in X$ を固定する。
$\mathrm{\forall }x\in X$ に対して、$X$ は弧状連結なので、$x_0$ と $x$ を結ぶ $X$ の道 ${\gamma }_x:[0,1]\to X$ が存在する。
${\gamma }_x$ は連続であるので ${\gamma }_x([0,1])$ は連結である。

さらに
$$\begin{array}{rl}X& =\bigcup _{x\in X}{\gamma }_x([0,1])\end{array}$$
を考えれば、(1) の条件を満たし、$X$ は連結であることが分かる。