実数の区間の濃度

先ず、写像 $f:\mathbb{R} \to (0, 1)$ を以下で定義する。
\begin{align}
f(x) &= \frac{1}{\pi}\arctan x + \frac{1}{2}
\end{align}
このとき、写像 $f$ は全単射となる。従って $\mathbb{R}$ の濃度と $(0, 1)$ の濃度は等しい。

次に、写像 $g:(0, 1) \to (0, 1]$ を以下で定義する。
\begin{align}
g(x) &=
\begin{cases}
2 x & (\exists n \in \mathbb{N}, x = \frac{1}{2^n}) \\
x & ({\rm others})
\end{cases}
\end{align}
このとき、$g$ は全単射となる。従って $(0, 1)$ の濃度と $(0, 1]$ の濃度は等しい。

以上より、題意が示された。