実数の区間の濃度

先ず、写像 $f:\mathbb{R}\to (0,1)$ を以下で定義する。
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{1}{\pi }\arctan x+\frac{1}{2}\end{array}$$
このとき、写像 $f$ は全単射となる。従って $\mathbb{R}$ の濃度と $(0,1)$ の濃度は等しい。

次に、写像 $g:(0,1)\to (0,1]$ を以下で定義する。
$$\begin{array}{rl}g(x)& =\{\begin{array}{ll}2x& (\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},x=\frac{1}{2^n})\\ x& (\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s})\end{array}\end{array}$$
このとき、$g$ は全単射となる。従って $(0,1)$ の濃度と $(0,1]$ の濃度は等しい。

以上より、題意が示された。