$(X, \mathfrak{D}_X)$ を位相空間、$\sim$ を $X$ 上の同値関係とし、商空間 $X/\sim$ を考える。
また、$\pi: X \to X/\sim$ を自然な射影とする。
さらに、$(Y,\mathfrak{D}_Y)$ を位相空間、$f: X/\sim \to Y$ を写像とする。
このとき、$f$ が連続であることと $f \circ \pi$ が連続であることは同値であることを示せ。
先ず、$f$ が連続であるとする。また、明らかに $\pi$ は連続である。
従って $f \circ \pi$ は連続となる。
次に $f \circ \pi$ が連続であるとする。
$O \in \mathfrak{D}_Y$ とするとき
\begin{align}
\pi^{-1}(f^{-1}(O) &= (f \circ \pi)^{-1}(O) \in \mathfrak{D}_X
\end{align}
である。
従って、$f^{-1}(O)$ は $X/\sim$ の開集合となる。
よって、$f$ は連続である。
以上の議論より、題意が示された。
