商位相

先ず、$f$ が連続であるとする。また、明らかに $\pi$ は連続である。
従って $f\circ \pi$ は連続となる。

次に $f\circ \pi$ が連続であるとする。
$O\in {\mathfrak{D}}_Y$ とするとき
$$\begin{array}{rl}{\pi }^{-1}(f^{-1}(O)& =(f\circ \pi {)}^{-1}(O)\in {\mathfrak{D}}_X\end{array}$$
である。
従って、$f^{-1}(O)$ は $X/\sim$ の開集合となる。
よって、$f$ は連続である。

以上の議論より、題意が示された。