集合・位相

商ベクトル空間

 

V をベクトル空間、W を V の部分ベクトル空間とする。

(1) x,y∈V に対して、x–y∈W となるときに x∼y であると定める時、∼ は V 上の同値関係となることを示せ。

(2) 上で定めた同値関係 ∼ による x∈V の同値類を [x] と表し、∼ による V の商集合を V/W と表す。
このとき、同値類 [x],[y]∈V/W に対して、和 [x]+[y]∈V/W を
[x]+[y]=[x+y]
により定める時、この和の定義が well-defined であることを示せ。

(3) 同値類 [x]∈V/W および x∈R に対して、スカラー倍 c[x]∈V/W を
c[x]=[cx]
で定める時、このスカラー倍の定義が well-defined であることを示せ。

(2), (3) によって定めた和とスカラー倍によって、V/W はベクトル空間となり、V/W を W による V の商ベクトル空間という。

(1)
∼ が V 上の２項関係であることは明らかであるので
(a) 反射律
(b) 対称律
(c) 推移律
を満たすことを見る。

(a) ∀x∈V に対して、x–x=0 であり、W は V の部分ベクトル空間であるので、x–x=0∈W となり、反射律を満たす。

(b) x∼y のとき、定義より x–y∈W である。ここで、W は V の部分ベクトル空間であるので −(x–y)∈W である。これは y–x∈W すなわち、y∼x を意味するので、対称律を満たす。

(c) x∼y,y∼z とする。すなわち x–y∈W,y–z∈W が成り立つ。W は V の部分ベクトル空間であるので、(x–y)+(y–z)=x–z∈W となり、これは x∼z を意味するので、推移律を満たす。

以上より、問題で定義された ∼ は V における同値関係であることが分かり、その商集合が定義される。それを V/W と書くことにする。

(2)
x,x′,y,y′∈V に対して、x∼x′,y∼y′ とする。
このとき
x–x′∈Wy–y′∈W
が成り立つ。ここで W は部分ベクトル空間であるので
(x–x′)+(y–y′)=(x+y)–(x′+y′)∈W
が成り立つ。すなわち (x+y)∼(x′+y′) が成立する。
従って、和の定義において、代表元の取り方に依存しないので well-defined であると言える。

(3)
x,x′∈V に対して、x∼x′ とする。
このとき
x–x′∈W
が成り立つ。 W は部分ベクトル空間でるので、任意の c∈R に対して
c(x–x′)=cx–cx′∈W
が成り立つ。すなわち cx∼cx′ が成立する。
従って、スカラー倍の定義において、代表元の取り方に依存しないので well-defined であると言える。

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