合成写像の逆写像

(1)
写像 $f,g$ は共に全射であるので、$g\circ f$ は $X$ から $Z$ への全射となる。
さらに、写像 $f,g$ は共に単射であるので、$g\circ f$ は $X$ から $Z$ への単射となる。
すなわち、$g\circ f:X\to Z$ は全単射である。
従って、その逆写像 $(g\circ f{)}^{-1}:Z\to X$ を定義することが出来る。

(2)
先ず、写像 $(g\circ f{)}^{-1}$ を考える。これは $Z$ から $X$ への写像である。
一方で、写像 $f^{-1}$ と $g^{-1}$ は、各々、$Y$ から $X$ への写像と $Z$ から $Y$ への写像であるので、$f^{-1}\circ g^{-1}$ は $Z$ から $X$ への写像であることが分かる。
つまり、二つの写像 $(g\circ f{)}^{-1}$ と $f^{-1}\circ g^{-1}$ の定義域と値域は各々等しいことが分かる。

次に、$z\in Z$ を考えて、$y=g^{-1}(z),x=f^{-1}(y)$ とする。
このとき $(f^{-1}\circ g^{-1})(z)=f^{-1}(g^{-1}(z))=f^{-1}(y)=x$ が成り立つ。
一方で、逆写像の定義より $g(y)=z,f(x)=y$ であるので、$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z$ が成り立つ。
すなわち $(g\circ f{)}^{-1}(z)=x$ が成り立つ。

これは任意の $z\in Z$ について成り立つので、題意が示された。