可算集合の性質

(1)
$X,Y$ は加算であるので、全単射 $f:\mathbb{N}\to X,g:\mathbb{N}\to Y$ が存在する。
このとき、$h:\mathbb{N}\to X\cup Y$ を次のように定義する。
すなわち $n\in \mathbb{N}$ とするとき
$$\begin{array}{rl}h(2n–1)& =f(n)\\ h(2n)& =g(n)\end{array}$$
と定める。

いま、$X\cap Y=\mathrm{\varnothing }$ であり、$f,g$ は全単射であるので、$h$ は全単射となる。
したがって、題意が示された。

(2)
先ず、$Y=\mathrm{\varnothing }$ のとき、$X\cup Y=X$ であるので、$X$ は加算である。

次に、$Y=\{y_1,y_2,\cdots ,y_m\}$ とする。
また、$X$ は加算であるので、全単射 $f:\mathbb{N}\to X$ が存在する。
このとき $g:\mathbb{N}\to X\cup Y$ を次のように定める。
すなわち、$n\in \mathbb{N}$ とするとき
$$\begin{array}{rl}g(n)& =y_n(n=1,2,\cdots ,m)\\ g(n)& =f(n–m)(n=m+1,m+2,\cdots )\end{array}$$
と定める。
与えられた条件により $X\cap Y=\mathrm{\varnothing }$ であり、また $f$ は全単射であるので、$g$ は全単射となる。
したがって、題意が示された。

(3)
先ず
$$\begin{array}{rl}X\cup Y& =X\cup (Y\mathrm{\setminus }X),\\ X\cap (Y\mathrm{\setminus }X)& =\mathrm{\varnothing }\end{array}$$
であることに注意すれば、$Y$ は加算であるので、$Y\mathrm{\setminus }X$ は高々加算である。
よって (1), (2) の主張より、$X\cup Y$ は加算であることが分かる。