上限位相と下限位相

(1)
任意の $x\in \mathbb{R}$ に対して、$x$ を含む左半開区間が存在する。
また、2つの左半開区間の共通部分は、空集合でないならば、左半開区間である。
従って、${\mathfrak{B}}_u$ は $\mathbb{R}$ のある位相の基底となることが分かる。

(2)
左半区間を $(a,b]$ とする。ここで、$a,b\in \mathbb{R},a<b$ とする。
まず、$(a,b]\in {\mathfrak{B}}_u$ であり、${\mathfrak{B}}_u$ は $\mathbb{R}$ のある位相の基底であるので、$(a,b]$ は $(\mathbb{R},{\mathfrak{B}}_u)$ の開集合である。

次に、$n\in \mathbb{N}$ とするとき、$(a–n,a]$ と $(b,b+n]$ は $(\mathbb{R},{\mathfrak{B}}_u)$ の開集合である。
ここで
$$\begin{array}{rl}(-\mathrm{\infty },a]\cup (b,\mathrm{\infty })& =(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a–n,a])\cup (\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b,b+n])\end{array}$$
であるので、$(-\mathrm{\infty },a]\cup (b,\mathrm{\infty })$ は $(\mathbb{R},{\mathfrak{B}}_u)$ の開集合である。
よって、その補集合である $(a,b]$ は閉集合である。

以上の議論より、題意が示された。

(3)
$n\in \mathbb{N},a,b\in \mathbb{R},a<b$ とするとき、$(a,b–(b–a)/(2n)]$ は $(\mathbb{R},{\mathfrak{D}}_u)$ の開集合である。ここで
$$\begin{array}{rl}(a,b)& =\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a,b–\frac{b–a}{2n}]\end{array}$$
であるので、$(a,b)$ は $(\mathbb{R},{\mathfrak{D}}_u)$ の開集合となる。

(4)
${\mathfrak{D}}_u,{\mathfrak{D}}_l$ よりも大きい $\mathbb{R}$ の位相を $\mathfrak{D}$ とする。
$a,b,c\in \mathbb{R},a<b<c$ とする。
このとき、(2) の結果より $(a,b]\in {\mathfrak{D}}_u$ であるので、$(a,b]\in \mathfrak{D}$ である。
同様に、$[b,c)\in {\mathfrak{D}}_l$ より、$[b,c)\in \mathfrak{D}$ となる。
したがって
$$\begin{array}{rl}\{b\}& =(a,b]\cap [b,c)\in \mathfrak{D}\end{array}$$
が得られる。
すなわち、$\mathfrak{D}$ は離散位相であることが分かる。