ベルンシュタインの定理

先ず
$$\begin{array}{r}(0,1]\times (0,1]\sim (0,1]\end{array}$$
を示す。

$x,y\in (0,1]$ を１０進法を用いて無限小数に展開し
$$\begin{array}{rl}x& =0.x_1{x}_2{x}_3\cdots \\ y& =0.y_1{y}_2{y}_3\cdots \end{array}$$
と表す。このとき
$$\begin{array}{rl}z& =0.x_1{y}_1{x}_2{y}_2{x}_3{y}_3\cdots \end{array}$$
を考えると、$z\in (0,1]$ であり、$(x,y)$ から $z$ を対応させる写像 $(x,y)\mapsto z$ は単射である。

さらに、$x\in (0,1]$ に対して、$(x,x)\in (0,1]\times (0,1]$ を対応させると、この写像は単射となる。

従って、ベルンシュタインの定理より
$$\begin{array}{r}(0,1]\times (0,1]\sim (0,1]\end{array}$$
が言える。

さらに、先の問題により
$$\begin{array}{r}(0,1]\sim \mathbb{R}\end{array}$$
が示されているので
$$\begin{array}{r}\mathbb{R}\times \mathbb{R}\sim \mathbb{R}\end{array}$$
が言える。