複素関数としての $\tan z$｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

複素変数の関数 $\tan z$ は、 $z \neq (1 / 2 + n) π (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$ に対して
$\begin{aligned} \tan z & = \frac{\sin z}{\cos z} \end{aligned}$
と定義される。

このとき、 $\tan z$ に関する加法定理
$\begin{aligned} \tan (z_{1} + z_{2}) & = \frac{\tan z_{1} + \tan z_{2}}{1 - \tan z_{1} \tan z_{2}} \end{aligned}$
を証明せよ。

複素変数の $\sin z, \cos z$ の加法定理は、実数変数の場合と同様に成り立つことは既知とする。

$\tan z$ の加法定理の右辺を計算すれば
$\begin{aligned} \frac{\tan z_{1} + \tan z_{2}}{1 - \tan z_{1} \tan z_{2}} & = \frac{\frac{\sin z_{1}}{\cos z_{1}} + \frac{\sin z_{2}}{\cos z_{2}}}{1 - \frac{\sin z_{1}}{\cos z_{1}} \frac{\sin z_{2}}{\cos z_{2}}} \\ = \frac{\sin z_{1} \cos z_{2} + \sin z_{2} \cos z_{1}}{\cos z_{1} \cos z_{2} - \sin z_{1} \sin z_{2}} \\ = \frac{\sin (z_{1} + z_{2})}{\cos (z_{1} + z_{2})} \\ = \tan (z_{1} + z_{2}) \end{aligned}$
が成り立つことが分かる。