級数の例

(i)
$|z|<1$ において絶対収束する次の級数に対して
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^n& =\frac{z}{1–z}\end{array}$$
両辺を $z$ で微分すると、無限級数の微分が項別に微分できることに注意して
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{z}^{n–1}& =\frac{1}{(1–z{)}^2}\end{array}$$
が得られる。さらに、両辺に $z$ をかけることにより
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}z{z}^n& =\frac{z}{(1–z{)}^2}\end{array}$$
が得られる。

(ii)
同様にして、(i) の結果を両辺 $z$ で微分することにより
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}{n}^2{z}^{n–1}& =\frac{(1–z{)}^2+2z(1–z)}{(1–z{)}^4}\\ \sum _{n=1}{n}^2{z}^{n–1}& =\frac{1+z}{(1–z{)}^3}\end{array}$$
が得られる。さらに、両辺に $z$ をかけることにより
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}{n}^2{z}^n& =\frac{z(1+z)}{(1–z{)}^3}\end{array}$$
が得られる。

(iii)
$$\begin{array}{rl}{f}_p(z)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^p{z}^n\end{array}$$
に対して、両辺を $z$ で微分することにより
$$\begin{array}{rl}{f}_p^{\prime }(z)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{p}n{z}^{n–1}\\ z{f}_p^{\prime }(z)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{p+1}{z}^n\\ z{f}_p^{\prime }(z)& =f_{p+1}\end{array}$$
が示される。