次の等式が $|z| < 1$ で成立することを示せ。
\begin{align}
{\rm (i)}&\ \ \ \sum_{n = 1}^{\infty} n z^n = \frac{z}{(1 – z)^2} \\
{\rm (ii)}&\ \ \ \sum_{n = 1}^{\infty} n^2 z^n = \frac{z(1 + z)}{(1 – z)^3} \\
{\rm (iii)}&\ \ \ f_p(z) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^p z^n\ (p \in \mathbb{N})\ \mbox{のとき}\\
&\ \ \ \ f_{p + 1}(z) = zf’_p(z)
\end{align}
(i)
$|z| < 1$ において絶対収束する次の級数に対して
\begin{align}
\sum_{n = 1}^{\infty} z^n &= \frac{z}{1 – z}
\end{align}
両辺を $z$ で微分すると、無限級数の微分が項別に微分できることに注意して
\begin{align}
\sum_{n = 1}^{\infty} n z^{n – 1} &= \frac{1}{(1 – z)^2}
\end{align}
が得られる。さらに、両辺に $z$ をかけることにより
\begin{align}
\sum_{n = 1}^{\infty} z z^n &= \frac{z}{(1 – z)^2}
\end{align}
が得られる。
(ii)
同様にして、(i) の結果を両辺 $z$ で微分することにより
\begin{align}
\sum_{n = 1} n^2 z^{n – 1} &= \frac{(1 – z)^2 + 2 z (1 – z)}{(1 – z)^4} \\
\sum_{n = 1} n^2 z^{n – 1} &= \frac{1 + z}{(1 – z)^3}
\end{align}
が得られる。さらに、両辺に $z$ をかけることにより
\begin{align}
\sum_{n = 1} n^2 z^n &= \frac{z(1 + z)}{(1 – z)^3}
\end{align}
が得られる。
(iii)
\begin{align}
f_p(z) &= \sum_{n = 1}^{\infty} n^p z^n
\end{align}
に対して、両辺を $z$ で微分することにより
\begin{align}
f’_p(z) &= \sum_{n = 1}^{\infty} n^p n z^{n – 1} \\
z f’_p(z) &= \sum_{n = 1}^{\infty} n^{p + 1} z^n \\
z f’_p(z) &= f_{p + 1}
\end{align}
が示される。
