線形独立なベクトルの組｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

次の３つのベクトルは線型独立かどうか判定せよ。
(1)
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}] \end{array}$

(2)
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}] \end{array}$

(3)
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}] \end{array}$

(3)
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}] \end{array}$

３つのベクトルの作る3行３列の行列の行列式が

0

かどうかで、線形独立か線形従属かを判別出来る。
(1)

\begin{array}{r} \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & - 2 \end{array} = \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & - 3 & - 3 \end{array} = 0 \end{array}

従って、線形従属である。

(2)
$\begin{array}{r} \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & - 1 \end{array} = \begin{array}{ccc} - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & - 1 \end{array} = 3 \end{array}$
従って、線形独立である。

(3)
$\begin{array}{r} \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & - 1 & 2 \end{array} = \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 \\ 3 & - 4 & 2 \end{array} = 2 \end{array}$
従って、線形独立である。

(4)
$\begin{array}{r} \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 2 & - 2 & - 1 \end{array} = \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 2 & - 1 & - 1 \end{array} = 0 \end{array}$
従って、線形従属である。