平均と分散｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

「1」、「2」、「3」のカードがそれぞれ3枚、2枚、1枚あります。このカードを袋に入れ、中を見ないで2枚のカードを取り出し、その2枚のカードに書かれている数の積を $X$ とするとき、次の問いに答えなさい。

(1) $X$ の平均 $E (X)$ を求めなさい。

(2) $X$ の分散 $V (X)$ を求めなさい。

$X$ の平均と分散を求めるには $X$ の平均 $E (X)$ と $X^{2}$ の平均 $E (X^{2})$ が分かれば良い。

6枚のカードから2枚のカードを取り出す場合の数は
$_{6} C_{2} = \frac{6!}{4!} 2! = 15$
である。

「1」が2枚出る場合の数は $_{3} C_{2} = 3$ なので、確率は $\frac{3}{15}$ であり、この時 $X = 1, X^{2} = 1$ である。
「1」が1枚、「2」が1枚出る場合の数は $_{3} C_{1} \cdot_{2} C_{1} = 6$ なので、確率は $\frac{6}{15}$ であり、この時 $X = 2, X^{2} = 4$ である。
「1」が1枚、「3」が1枚出る場合の数は $_{3} C_{1} \cdot_{1} C_{1} = 3$ なので、確率は $\frac{3}{15}$ であり、この時 $X = 3, X^{2} = 9$ である。
「2」が2枚出る場合の数は $_{2} C_{2} = 1$ なので、確率は $\frac{1}{15}$ であり、この時 $X = 4, X^{2} = 16$ である。
「2」が1枚、「3」が1枚出る場合の数は $_{2} C_{1} \cdot_{1} C_{1} = 2$ なので、確率は $\frac{2}{15}$ であり、この時、 $X = 6, X^{2} = 36$ である。

(1)
$E (X) = (1 \cdot \frac{3}{15} + 2 \cdot \frac{6}{15} + 3 \cdot \frac{3}{15} + 4 \cdot \frac{1}{15} + 6 \cdot \frac{2}{15}) = \frac{8}{3}$

(2)
$E (X^{2}) = (1^{2} \cdot \frac{3}{15} + 2^{2} \cdot \frac{6}{15} + 3^{2} \cdot \frac{3}{15} + 4^{2} \cdot \frac{1}{15} + 6^{2} \cdot \frac{2}{15}) = \frac{142}{15}$
従って
$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = \frac{106}{45}$
と求まる。