平均と分散

$X$の平均と分散を求めるために、$|r|<1$として、次の無限級数を計算する。

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{1–r}& =1+r^1+r^2+r^3+r^4+r^5+\cdots \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{1}{1–r}\right)& =1r^0+2r^1+3r^2+4r^3+5r^4+\cdots \\ r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{1}{1–r}\right)& =1r^1+2r^2+3r^3+4r^4+5r^5+\cdots \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{1}{1–r}\right)\right)& =1^2{r}^0+2^2{r}^1+3^2{r}^2+4^2{r}^3+5^2{r}^4+\cdots \\ r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{1}{1–r}\right)\right)& =1^2{r}^1+2^2{r}^2+3^2{r}^3+4^2{r}^4+5^2{r}^5+\cdots \end{array}$$

(1) $X$の平均$⟨X⟩$は$r=\frac{5}{8}$として
$$\begin{array}{rl}⟨X⟩& =\sum _{k=0}kP(X=k)\\ & =\sum _{k=1}k\frac{3}{8}{r}^k\\ & =\frac{3}{8}(1r^1+2r^2+3r^3+\cdots )\\ & =\frac{3}{8}r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{1}{1–r}\right)\\ & =\frac{3}{8}\frac{r}{(1–r{)}^2}\\ & =\frac{5}{3}\end{array}$$

(2) 同様にして、$X$の分散$\sigma$は
$$\begin{array}{rl}⟨X^2⟩& =\sum _{k=0}{k}^2\frac{3}{8}{r}^k\\ & =\frac{3}{8}r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{1}{1–r}\right)\right)\\ & =\frac{3}{8}\frac{r(1+r)}{(1–r{)}^3}\\ & =\frac{65}{9}\end{array}$$
に注意して
$$\begin{array}{rl}\sigma & =⟨X^2⟩–⟨X{⟩}^2\\ & =\frac{65}{9}–\frac{25}{9}\\ & =\frac{40}{9}\end{array}$$
と求まる。