連立合同式

$$x\equiv 3\text{ (mod 4)}$$
より、$n_1$を整数として
$$x=4n_1+3$$
と書ける。これを第2式に代入して
$$\begin{array}{rl}4n_1+3& \equiv 5\text{ (mod 7)}\\ 4n_1& \equiv 2\text{ (mod 7)}\end{array}$$
ここで、$2\times 4=8\equiv 1\text{ (mod 7)}$に注意して、両辺に$2$をかけると
$$n_1\equiv 4\text{ (mod 7)}$$
が得られる。従って$n_2$を整数として
$$\begin{array}{rl}{n}_1& =7n_2+4\\ x& =4n_1+3\\ & =4(7n_2+4)+3\\ & =28n_2+19\end{array}$$
が得られる。これを第3式に代入して
$$\begin{array}{rl}28n_2+19& \equiv 7\text{ (mod 11)}\\ 28n_2& \equiv -12\equiv -1\equiv 10\text{ (mod 11)}\end{array}$$
が得られる。$2\times 28=56\equiv 1\text{ (mod 11)}$に注意して、両辺に$2$をかけると
$$n_2\equiv 20\equiv 9\text{ (mod 11)}$$
が得られるので、$n_3$を整数として
$$n_2=11n_3+9$$
と表すことが出来る。従って
$$\begin{array}{rl}{n}_1& =7n_2+4\\ & =7(11n_3+9)+4\\ & =77n_3+67\\ x& =4n_1+3\\ & =4(77n_3+67)+3\\ & =308n_3+271\end{array}$$
となり、$x>0$で最小のものは
$$x=271$$
と求まる。