$SU(2)$ のリー代数 $\mathfrak{su}(2)$｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

次の反エルミート行列で張られる線形空間を考える。
$\begin{array}{r} e_{1} = \frac{i}{2} (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}), e_{2} = \frac{i}{2} (\begin{array}{c} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}), e_{3} = \frac{i}{2} (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) \end{array}$
ここで $(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in R^{3}$ として
$\begin{aligned} g (x) & = e x p (\sum_{i = 1}^{3} x_{i} e_{i}) \end{aligned}$
を考える。

このとき
$\begin{array}{r} e x p (g (x)) e x p (- g (x)) = E_{2} \end{array}$
が成り立つことを示せ。

先の行列の指数関数の結果より
$\begin{aligned} e x p (g (x)) e x p (- g (x)) & = e x p ((1 - 1) g (x)) \\ = e x p (0 g (x)) \\ = E_{2} \end{aligned}$
より示される。

なお、 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ が反エルミート行列、すなわち $e_{1}^{†} = - e_{1}, e_{2}^{†} = - e_{2}, e_{3}^{†} = - e_{3}$ より
$\begin{aligned} e x p (g (x))^{†} & = e x p (g^{†}) \\ = e x p (- g (x)) \end{aligned}$
が成り立つので、 $e x p (g (x))$ はユニタリー行列であることが分かる。