正方行列 $M$ に対して
\begin{align}
{\rm exp}(t M) &\equiv \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} M^k
\end{align}
と定義するとき
\begin{align}
{\rm exp}(t M)\cdot{\rm exp}(s M) &= {\rm exp}((t + s) M)
\end{align}
を示せ。
\begin{align}
{\rm e}^{t x} {\rm e}^{s x} = {\rm e}^{(t + s) x}
\end{align}
より
\begin{align}
\left(\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} x^k\right)
\left(\sum_{j = 0}^{\infty} \frac{t^j}{j!} x^j\right) &=
\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(s + t)^n}{n!} x^n
\end{align}
が成り立つので
\begin{align}
{\rm exp}(t M) \cdot {\rm exp}(s M) &=
\left(\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} M^k\right)
\left(\sum_{j = 0}^{\infty} \frac{t^j}{j!} M^j\right) \\
&= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(s + t)^n}{n!} M^n \\
&= {\rm exp}((t + s) M)
\end{align}
が成り立つ。
