行列の指数関数

$$\begin{array}{r}{\mathrm{e}}^{tx}{\mathrm{e}}^{sx}={\mathrm{e}}^{(t+s)x}\end{array}$$
より
$$\begin{array}{rl}\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^k}{k!}{x}^k\right)\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^j}{j!}{x}^j\right)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(s+t{)}^n}{n!}{x}^n\end{array}$$
が成り立つので
$$\begin{array}{rl}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(tM)\cdot \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(sM)& =\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^k}{k!}{M}^k\right)\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^j}{j!}{M}^j\right)\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(s+t{)}^n}{n!}{M}^n\\ & =\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}((t+s)M)\end{array}$$
が成り立つ。