$M$ を $n$ 次正方行列とするとき
\begin{align}
\frac{\rm d}{{\rm d} t} \left({\rm exp}(t M)\right) &= M {\rm exp}(t M) \\
\log({\rm exp}(M)) &= M
\end{align}
を示せ。
ここに、行列の対数関数を
\begin{align}
\log M \equiv \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{k -1}}{k} (M – E_n)^k
\end{align}
と定義する。
\begin{align}
\frac{\rm d}{{\rm d} t} \left({\rm exp}(t M)\right) &=
\frac{\rm d}{{\rm d} t} \left(\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} M^k \right)\\
&= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k t^{k – 1}}{k!} M M^{k -1} \\
&= M \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{t^{k -1}}{(k -1)!} M^{k – 1} \\
&= M {\rm exp}(t M)
\end{align}
さらに、実数 $t$ について $\log {\rm exp}(t) = t$ が成り立ち、$M$ と $E_n$ は可換であるので
\begin{align}
\log({\rm exp}(M)) &= M
\end{align}
が言える。
