行列の指数関数の性質

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(tM))& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^k}{k!}{M}^k\right)\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k{t}^{k–1}}{k!}M{M}^{k-1}\\ & =M\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}{M}^{k–1}\\ & =M\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(tM)\end{array}$$

さらに、実数 $t$ について $\log \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(t)=t$ が成り立ち、$M$ と $E_n$ は可換であるので
$$\begin{array}{rl}\log (\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(M))& =M\end{array}$$
が言える。