$\mathbb{R}^3$ の1-形式
\begin{align}
\omega &= y^2 \sin x \cos z {\rm d}x + y {\rm d} y \\
\xi &= x {\rm d} x
\end{align}
に対して、以下の計算をせよ。
(1) ${\rm d}(\omega \wedge \xi)$
(2) ${\rm d}{\rm d} w$
(1)
\begin{align}
{\rm d}(\omega \wedge \xi) &= {\rm d}(x y^2 \sin x \cos z {\rm d}x \wedge {\rm d}z + xy {\rm d}y \wedge {\rm d}z) \\
&= (-2 x y \sin x \cos z + y) {\rm d} x \wedge {\rm d} y \wedge {\rm d} z
\end{align}
(2)
\begin{align}
{\rm d}{\rm d}\omega &= {\rm d}(2 y \sin x \cos z {\rm d}y \wedge {\rm d} x – y^2 \sin x \sin z {\rm d} z \wedge {\rm d} x \\
&= -2 y \sin x \sin z {\rm d} z \wedge {\rm d} y \wedge {\rm d} x – 2 y \sin x \sin z {\rm d} y \wedge {\rm d} z \wedge {\rm d} x \\
&= 0
\end{align}
