対称テンソルと反対称テンソルの縮約｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$k$ 階テンソルの基底を $e^{μ_{1}} \otimes \dots \otimes e^{μ_{k}}$ とし、スカラーである係数を $A_{μ_{1}, \dots, μ_{k}}, B_{μ_{1}, \dots, μ_{k}}$ として、 $k$ 階対称テンソル
$\begin{aligned} A & = A_{μ_{1}, \dots, μ_{k}} e^{μ_{1}} \otimes \dots \otimes e^{μ_{k}} \end{aligned}$
と、 $k$ 階の反対称テンソル
$\begin{aligned} B & = B_{μ_{1}, \dots, μ_{k}} e^{μ_{1}} \otimes \dots \otimes e^{μ_{k}} \end{aligned}$
が与えられたとする。

このとき、 $A, B$ の縮約は 0 となることを示せ。すなわち
$\begin{aligned} A_{μ_{1}, \dots, μ_{k}} B_{μ_{1}, \dots, μ_{k}} & = 0 \end{aligned}$
を示せ。

$μ_{1}, \dots, μ_{k}$ は単なるラベルであるので、 $μ_{1}$ と $μ_{2}$ を入れ替えても値は変わらない。
従って
$\begin{aligned} A_{μ_{1}, μ_{2}, \dots, μ_{k}} B_{μ_{1}, μ_{2} \dots, μ_{k}} & = A_{μ_{2}, μ_{1}, \dots, μ_{k}} B_{μ_{2}, μ_{1}, \dots, μ_{k}} \\ = - A_{μ_{1}, μ_{2}, \dots, μ_{k}} B_{μ_{1}, μ_{2} \dots, μ_{k}} \end{aligned}$
従って
$\begin{aligned} A_{μ_{1}, μ_{2}, \dots, μ_{k}} B_{μ_{1}, μ_{2} \dots, μ_{k}} & = 0 \end{aligned}$
が言える。