$k$階テンソルの基底を $e^{\mu_1}\otimes \cdots \otimes e^{\mu_k}$ とし、スカラーである係数を $A_{\mu_1, \cdots, \mu_k}, B_{\mu_1, \cdots, \mu_k}$ として、$k$階対称テンソル
\begin{align}
A &= A_{\mu_1, \cdots, \mu_k} e^{\mu_1}\otimes \cdots \otimes e^{\mu_k}
\end{align}
と、$k$階の反対称テンソル
\begin{align}
B &= B_{\mu_1, \cdots, \mu_k} e^{\mu_1}\otimes \cdots \otimes e^{\mu_k}
\end{align}
が与えられたとする。
このとき、$A, B$ の縮約は 0 となることを示せ。すなわち
\begin{align}
A_{\mu_1, \cdots, \mu_k}B_{\mu_1, \cdots, \mu_k} &= 0
\end{align}
を示せ。
$\mu_1, \cdots, \mu_k$ は単なるラベルであるので、$\mu_1$ と $\mu_2$ を入れ替えても値は変わらない。
従って
\begin{align}
A_{\mu_1,\mu_2, \cdots, \mu_k}B_{\mu_1, \mu_2 \cdots, \mu_k} &= A_{\mu_2, \mu_1, \cdots, \mu_k}B_{\mu_2, \mu_1, \cdots, \mu_k} \\
&= – A_{\mu_1,\mu_2, \cdots, \mu_k}B_{\mu_1, \mu_2 \cdots, \mu_k}
\end{align}
従って
\begin{align}
A_{\mu_1,\mu_2, \cdots, \mu_k}B_{\mu_1, \mu_2 \cdots, \mu_k} &= 0
\end{align}
が言える。
