微分幾何

双対ベクトル束の接続

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双対ベクトル束の接続に関して、ライプニッツ則が成り立つこと、すなわち
$ξ^{*} \in Γ (E^{*}), f \in C^{\infty} (M)$ に対して
$\begin{aligned} \nabla (f ξ^{*}) & = (d f) ξ^{*} + f \nabla ξ^{*} \end{aligned}$
が成り立つことを示せ。

$ξ^{*} = ξ_{a} e^{a}$ と ${e^{a}}$ で展開し
$\begin{aligned} \nabla (ξ^{*}) & = \nabla (ξ_{a}^{*} e^{a}) \\ = (d ξ_{a}^{*}) e^{a} + ξ_{a} (\nabla e^{a}) \end{aligned}$
となり、線型性より
$\begin{aligned} \nabla (f ξ^{*}) & = (d f) ξ^{*} + f \nabla ξ^{*} \end{aligned}$
が言える。