微分幾何

双対ベクトル束のライプニッツ則

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$ξ^{*} \in Γ (E^{*}), f \in C^{\infty} (M)$ に対してライプニッツ則
$\begin{aligned} \nabla (f ξ^{*}) & = (d f) ξ^{*} + f \nabla ξ^{*} \end{aligned}$
を示せ。

$ξ^{*} = ξ_{a}^{*} e^{a}$ に対して
$\begin{aligned} \nabla (ξ_{a}^{*} e^{a}) & = (d ξ_{a}^{*}) e^{a} - (ξ_{c}^{*} ω_{a}^{c}) e^{a} \\ = (d ξ_{a}^{*}) e^{a} + ξ_{c}^{*} η_{a}^{c} e^{a} \\ = (d ξ_{a}^{*}) e^{a} + ξ_{a}^{*} (\nabla e^{a}) \end{aligned}$
であるので
$\begin{aligned} \nabla (f ξ^{*}) & = (d f) ξ^{*} + f \nabla ξ^{*} \end{aligned}$
が成り立つ。