微分幾何

共変微分のライプニッツ則

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$f \in Ω^{0} (M), ξ \in Γ (E)$ とするとき、 $f ξ$ も切断であり
$\begin{aligned} \nabla_{X} (f ξ) & = (X f) ξ + f \nabla_{X} ξ \end{aligned}$
が成り立つことを示せ。

共変微分の定義より
$\begin{aligned} \nabla (f ξ) & = (d f) ξ + f \nabla ξ \end{aligned}$
であるので
$\begin{aligned} \nabla_{X} (f ξ) & = ⟨ (d f) ξ + f \nabla ξ, X ⟩ \\ = ⟨ (d f) ξ, X ⟩ + ⟨ f \nabla ξ, X ⟩ \\ = (X f) ξ + f \nabla_{X} ξ \end{aligned}$
が成り立つ。