ビアンキ恒等式
\begin{align}
{\rm d}_{\omega} \Omega &\equiv {\rm d} \Omega + [\omega, \Omega] = 0
\end{align}
を示せ。ただし
\begin{align}
[\omega, \Omega] = \omega \wedge \Omega – \Omega \wedge \omega
\end{align}
とする。
構造方程式
\begin{align}
\Omega &= {\rm d} \omega + \omega \wedge \omega
\end{align}
を外微分して、${\rm dd} = 0$ に注意すれば
\begin{align}
{\rm d} \Omega &= {\rm d} \omega \wedge \omega – \omega \wedge {\rm d} \omega \\
&=(\Omega – \omega \wedge \omega) \wedge \omega – \omega \wedge (\Omega – \omega \wedge \omega) \\
&= – [\omega, \Omega]
\end{align}
より、示される。
