ビアンキ恒等式

構造方程式
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Omega }& =\mathrm{d}\omega +\omega \wedge \omega \end{array}$$
を外微分して、$\mathrm{d}\mathrm{d}=0$ に注意すれば
$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\mathrm{\Omega }& =\mathrm{d}\omega \wedge \omega –\omega \wedge \mathrm{d}\omega \\ & =(\mathrm{\Omega }–\omega \wedge \omega )\wedge \omega –\omega \wedge (\mathrm{\Omega }–\omega \wedge \omega )\\ & =–[\omega ,\mathrm{\Omega }]\end{array}$$
より、示される。