テンソルの分解

(1)
$$\begin{array}{rl}{A}_{\mu ,\nu }& =\frac{1}{2}(T_{\mu ,\nu }+T_{\nu ,\mu })\\ B_{\mu ,\nu }& =\frac{1}{2}\left(T_{\mu ,\nu }–T_{\nu ,\mu }\right)\end{array}$$
とすれば
$$\begin{array}{rl}{T}_{\mu ,\nu }& =A_{\mu ,\nu }+B_{\mu ,\nu }\end{array}$$
であり
$$\begin{array}{rl}{A}_{\mu ,\nu }& =A_{\nu ,\mu }\\ B_{\mu ,\nu }& =–A_{\nu ,\mu }\end{array}$$
を満たす。

(2)
$A=(A_{\mu ,\nu })$ を対称行列、$B=(B_{\mu ,\nu })$ を反対称行列とすると
$$\begin{array}{rl}\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)& =A_{\mu ,\nu }{B}_{\mu ,\nu }\end{array}$$
添字の $\mu ,\nu$ は何でも良いので、入れ替えても値は変わらない。従って
$$\begin{array}{rl}\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)& =A_{\nu ,\mu }{B}_{\mu ,\nu }\end{array}$$
となる。ここで、$A$ が対称行列、$B$ が反対称行列であることを使うと
$$\begin{array}{rl}\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)& =A_{\mu ,\nu }(-B_{\nu ,\mu })\\ & =\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)\end{array}$$
となる。従って
$$\begin{array}{rl}\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)& =0\end{array}$$
が言える。