任意の２階のテンソルの成分 $T_{\mu, \nu}$ について
(1) $A_{\mu, \nu}$ を対称テンソル($A_{\mu, \nu} = A_{\nu, \mu}$)、
$B_{\mu, \nu}$ を反対称テンソル($B_{\mu, \nu} = – B_{\nu, \mu}$)として
\begin{align}
T_{\mu, \nu} = A_{\mu, \nu} + B_{\mu, nu}
\end{align}
と表すことが出来ることを示せ。
(2) 反対称行列と対称行列の積のトレースは 0 となることを示せ。
(1)
\begin{align}
A_{\mu, \nu} &= \frac{1}{2}\left(T_{\mu, \nu} + T_{\nu, \mu}\right) \\
B_{\mu, \nu} &= \frac{1}{2}\left(T_{\mu, \nu} – T_{\nu, \mu}\right)
\end{align}
とすれば
\begin{align}
T_{\mu, \nu} &= A_{\mu, \nu} + B_{\mu, \nu}
\end{align}
であり
\begin{align}
A_{\mu, \nu} &= A_{\nu, \mu} \\
B_{\mu, \nu} &= – A_{\nu, \mu}
\end{align}
を満たす。
(2)
$A = (A_{\mu, \nu})$ を対称行列、$B = (B_{\mu, \nu})$ を反対称行列とすると
\begin{align}
{\rm tr}(AB) &= A_{\mu, \nu} B_{\mu, \nu}
\end{align}
添字の $\mu, \nu$ は何でも良いので、入れ替えても値は変わらない。従って
\begin{align}
{\rm tr}(AB) &= A_{\nu, \mu} B_{\mu, \nu}
\end{align}
となる。ここで、$A$ が対称行列、$B$ が反対称行列であることを使うと
\begin{align}
{\rm tr}(AB) &= A_{\mu, \nu}(- B_{\nu, \mu}) \\
&= {\rm tr}(AB)
\end{align}
となる。従って
\begin{align}
{\rm tr}(AB) &= 0
\end{align}
が言える。
