$C$ を中心 $O$、半径 $r$ の円とする。
$O$ とは異なる点 $P \in \mathbb{R}^2\backslash\{0\}$ に対して、半直線 $OP$ 上の点 $Q$ を
\begin{align}
OP \cdot OQ &= r^2
\end{align}
となるように定める。
点 $P$ から点 $Q$ への対応を $C$ に関する反転という。
$C$ が単位円 $S^{1}$ のとき、$P = (x, y)$ に対応する点 $Q$ の座標を $x, y$ で表わせ。
点 $Q$ の座標を $Q = (X, Y)$ とおくと
\begin{align}
OP \cdot OQ &= \sqrt{x^2 + y^2} \sqrt{X^2 + Y^2} = 1
\end{align}
が成り立つ。
一方で、点 $Q$ は半直線 $OP$ 上の点であるので
\begin{align}
(X, Y) &= (k x, k y)\ (k > 0)
\end{align}
と表される。
この関係を先の式に代入すると
\begin{align}
k (x^2 + y^2) &= 1
\end{align}
が得られる。
これより
\begin{align}
(X, Y) &= \left(\frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{y}{x^2 + y^2}\right)
\end{align}
と求められる。
