2次元の円に関する座標の反転｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$C$ を中心 $O$ 、半径 $r$ の円とする。
$O$ とは異なる点 $P \in R^{2} ∖ {0}$ に対して、半直線 $O P$ 上の点 $Q$ を
$\begin{aligned} O P \cdot O Q & = r^{2} \end{aligned}$
となるように定める。

点 $P$ から点 $Q$ への対応を $C$ に関する反転という。

$C$ が単位円 $S^{1}$ のとき、 $P = (x, y)$ に対応する点 $Q$ の座標を $x, y$ で表わせ。

点 $Q$ の座標を $Q = (X, Y)$ とおくと
$\begin{aligned} O P \cdot O Q & = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{X^{2} + Y^{2}} = 1 \end{aligned}$
が成り立つ。

一方で、点 $Q$ は半直線 $O P$ 上の点であるので
$\begin{aligned} (X, Y) & = (k x, k y) (k > 0) \end{aligned}$
と表される。
この関係を先の式に代入すると
$\begin{aligned} k (x^{2} + y^{2}) & = 1 \end{aligned}$
が得られる。