同値関係

同値関係を定める、反射律、対称律、推移律が成り立つか各々確かめる。

先ず、反射律は $\mathrm{\forall }(m,n)\in X$ に対して
$$\begin{array}{rl}mn& =nm\end{array}$$
が成り立つので、$(m,n)\sim (m,n)$ が成り立つことから反射律は成立する。

次に、対称律については $(m,n),(m^{\prime },n^{\prime })\in X$ について $(m,n)\sim (m^{\prime },n^{\prime })$ とすると
$$\begin{array}{rl}m{n}^{\prime }& =n{m}^{\prime }\\ m^{\prime }n& =n^{\prime }m\end{array}$$
より、$(m^{\prime },n^{\prime })\sim (m,n)$ が成り立ち、対称律も成立する。

最後に推移律については $(m,n),(m^{\prime },n^{\prime }),(m^{\prime \prime },n^{\prime \prime })\in X$ について、$(m,n)\sim (m^{\prime },n^{\prime })$ かつ $(m^{\prime },n^{\prime })\sim (m^{\prime \prime },n^{\prime \prime })$ が成り立つとすると
$$\begin{array}{rl}m{n}^{\prime }& =n{m}^{\prime }\\ m^{\prime }{n}^{\prime \prime }& =n^{\prime }{m}^{\prime \prime }\end{array}$$
が成り立つことから、$n,n^{\prime },n^{\prime \prime }$ が 0 ではないことに注意して
$$\begin{array}{rl}m& =\frac{n{m}^{\prime }}{n^{\prime }}\\ m^{\prime }& =\frac{n^{\prime }{m}^{\prime \prime }}{n^{\prime \prime }}\end{array}$$
より
$$\begin{array}{rl}m& =\frac{n}{n^{\prime }}\frac{n^{\prime }{m}^{\prime \prime }}{n^{\prime \prime }}\\ m{n}^{\prime \prime }& =n{m}^{\prime \prime }\end{array}$$
が成り立ち、$(m,n)\sim (m^{\prime \prime },n^{\prime \prime })$ となり、推移律も成り立つ。

従って、$\sim$ は $X$ 上の同値関係であることが分かる。