同値関係

同値関係を定める、反射律、対称律、推移律が成り立つか各々確かめる。

先ず、反射律は $\forall (m, n) \in X$ に対して
\begin{align}
m n &= n m
\end{align}
が成り立つので、$(m, n) \sim (m, n)$ が成り立つことから反射律は成立する。

次に、対称律については $(m, n), (m’, n’) \in X$ について $(m, n) \sim (m’, n’)$ とすると
\begin{align}
m n’ &= n m’ \\
m’ n &= n’ m
\end{align}
より、$(m’, n’) \sim (m, n)$ が成り立ち、対称律も成立する。

最後に推移律については $(m, n), (m’, n’), (m^{\prime\prime}, n^{\prime\prime}) \in X$ について、$(m, n) \sim (m’, n’)$ かつ $(m’, n’) \sim (m^{\prime\prime}, n^{\prime\prime})$ が成り立つとすると
\begin{align}
m n’ &= n m’ \\
m’ n^{\prime\prime} &= n’ m^{\prime\prime}
\end{align}
が成り立つことから、$n, n’, n^{\prime\prime}$ が 0 ではないことに注意して
\begin{align}
m &= \frac{n m’}{n’} \\
m’ &= \frac{n’ m^{\prime\prime}}{n^{\prime\prime}}
\end{align}
より
\begin{align}
m &= \frac{n}{n’}\frac{n’ m^{\prime\prime}}{n^{\prime\prime}} \\
m n^{\prime\prime} &= n m^{\prime\prime}
\end{align}
が成り立ち、$(m, n) \sim (m^{\prime\prime}, n^{\prime\prime})$ となり、推移律も成り立つ。

従って、$\sim$ は $X$ 上の同値関係であることが分かる。