ネイピア数

(1)
二項定理を使えば
\begin{align}
a_n &= \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \\
&= \sum_{k = 0}^n {}_n C_k 1^{n – k} \left(\frac{1}{n}\right)^k \\
&= 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n – 1)}{2!} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{n(n – 1) \cdots 1}{n!} \frac{1}{n^n} \\
&= 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1 – \frac{1}{n}\right) + \cdots + \frac{1}{n!}\left(1 – \frac{1}{n}\right) \left(1 – \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 – \frac{n – 1}{n}\right) \\
&< 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1 – \frac{1}{n + 1}\right) + \cdots + \frac{1}{n!}\left(1 – \frac{1}{n + 1}\right) \left(1 – \frac{2}{n + 1}\right) \cdots \left(1 – \frac{n – 1}{n + 1}\right) \\
&\ \ \ + \frac{1}{(n + 1)!} \left(1 – \frac{1}{n + 1}\right) \left(1 – \frac{2}{n – 1}\right) \cdots \left(1 – \frac{n}{n + 1}\right) \\
&= 1 + 1 + \frac{1}{2!}\frac{n}{n + 1} + \cdots + \frac{1}{n!} \frac{n(n – 1) \cdots 2}{(n + 1)^{n – 1}} \\
&\ \ \ + \frac{1}{(n + 1)!}\frac{n(n – 1) \cdots 2\cdot 1}{(n + 1)^{n + 1}} \\
&= \left(1 + \frac{1}{n + 1}\right)^{n + 1} \\
&= a_{n + 1}
\end{align}
となり、$a_{n + 1} > a_{n}$ が言えるので、この数列は単調増加である。

(2)
(1) において3行目の式から
\begin{align}
a_n &\le 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}
\end{align}
が成り立つ。

ここで、$2^{n – 1} \le n!\ (n \in \mathbb{N})$ が成り立つので
\begin{align}
a_n &\le 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} \cdots + \frac{1}{2^{n – 1}} \\
&= 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2^3}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{n – 4}}\right) \\
&< 2 + \frac{2}{3} + \frac{1}{8} \cdot 2 \\
&= 2 + \frac{11}{22}
\end{align}
が示される。

(3)
(1), (2) より $2 < {\rm e} < 3$ であることが分かる。
ここで、${\rm e}$ が有理数であると仮定して矛盾を導く。
すなわち、ある自然数 $m, n$ が存在して ${\rm e} = \frac{m}{n}\ (m, n \in \mathbb{N})$ とする。

関数 ${\rm e}^x$ に関するマクローリンの定理より、ある $\theta \in (0, 1)$ が存在して
\begin{align}
e &= \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{{\rm e}^{\theta}}{(n + 1)!}
\end{align}
が成り立つ。

これより、両辺に $n!$ をかけて
\begin{align}
n! {\rm e} – \sum_{k = 0}^n \frac{n!}{k!} &= \frac{{\rm e}^{\theta}}{n + 1}
\end{align}
が得られるが、${\rm e} = \frac{m}{n}$ と仮定していたので、左辺は整数となる。

一方で右辺は $2 < {\rm e} < 3$ を使えば
\begin{align}
1 < \frac{{\rm e}^{\theta}}{n + 1} < \frac{3}{n + 1}
\end{align}
が導かれるが、これより、$n = 1$ が得られる。
しかしながら、$n = 1$ であれば、${\rm e}$ は自然数となり、$2 < {\rm e} < 3$ と矛盾する。
従って、${\rm e}$ は無理数であることが示された。