コーシー列｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$(X, d)$ を距離空間、 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ を $X$ の点列とする。
点列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ が収束するならば、
${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ はコーシー列であることを示せ。

点列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ がコーシー列であるとは
$\begin{array}{r} \forall ϵ > 0, \exists N \in N, m, n \in N, m, n > N \Rightarrow d (a_{m}, a_{n}) < ϵ \end{array}$
が成り立つことである。

点列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ が $a$ に収束するとする。
このとき
$\begin{array}{r} \forall ϵ > 0, \exists N \in N, n \in N, n > N \Rightarrow d (a_{n}, a) < \frac{ϵ}{2} \end{array}$
が成り立つ。

従って、 $m, n \in N, m, n > N$ に対して、三角不等式を使えば
$\begin{aligned} d (a_{m}, a_{n}) & \leq d (a_{m}, a) + d (a, a_{n}) \\ = d (a_{m}, a) + d (a_{n}, a) \\ < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ \end{aligned}$
が成り立ち、点列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ はコーシー列であることが分かる。