$(X, d)$ を距離空間、$\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ を $X$ の点列とする。
点列 $\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ が収束するならば、
$\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ はコーシー列であることを示せ。
点列 $\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ がコーシー列であるとは
\begin{align}
\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, m, n \in \mathbb{N}, m, n > N \Rightarrow d(a_m, a_n) < \epsilon
\end{align}
が成り立つことである。
点列 $\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ が $a$ に収束するとする。
このとき
\begin{align}
\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}, n > N \Rightarrow d(a_n, a) < \frac{\epsilon}{2}
\end{align}
が成り立つ。
従って、$m, n \in \mathbb{N}, m, n > N$ に対して、三角不等式を使えば
\begin{align}
d(a_m, a_n) &\le d(a_m, a) + d(a, a_n) \\
&= d(a_m, a) + d(a_n, a) \\
&< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon
\end{align}
が成り立ち、点列 $\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ はコーシー列であることが分かる。
