$p$元体係数多項式の因数分解

フェルマーの小定理を用いて証明する。フェルマーの小定理の主張は以下である。

今、$p$ を素数として、$p$ 元体 $F_p=\{0,1,2,\cdots ,p-1\}$ の元を係数を持つ多項式全体 $F_p[x]$ において、$f_p(x)=x^{p–1}–1$ を考えると、$1,2,3,\cdots ,p–1$ は $p$ の倍数ではない。従って、フェルマーの小定理により
$$\begin{array}{r}{a}^{p–1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),a=1,2,3,\cdots ,p-1\end{array}$$
が成り立つ。すなわち、$a=1,2,3,\cdots ,p–1$ に対して
$$\begin{array}{r}{f}_p(a)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\end{array}$$
が成り立つ。

従って、$f_p(x)$ は $(x–1)(x–2)(x–3)\cdots (x–(p–1))$ を因数に持つ事が分かる。

つまり、$C(x)\in F_p[x]$ として
$$\begin{array}{rcl}{f}_p(x)& =& C(x)(x–1)(x–2)(x–3)\cdots (x–(p–1))\end{array}$$
と書く事が出来る。

$f_p(x)$ の最高次数は $p–1$ であり、さらに $x^{p–1}$ の係数は $1$ であることから、上記において $C(X)=1$ であると結論付けられる。

従って、題意が示された。