$n$次対称群$S_n$の性質｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$n \geq 2$ とし、 $S_{n}$ を $n$ 次対称群とする。
$i = 1, \dots, n - 1$ に対して
$\begin{aligned} σ_{i} & \equiv (i i + 1) \in S_{n} \end{aligned}$
とおく。 $σ_{1}, \dots, σ_{n - 1}$ は隣接互換と呼ばれる。
このとき、以下の問に答えよ。

(a) $S_{n}$ は $σ_{1}, \dots, σ_{n - 1}$ で生成されること、すなわち、
$\begin{array}{r} S_{n} = ⟨ σ_{1}, \dots, σ_{n - 1} ⟩ \end{array}$
が成り立つことを示せ。

(b) 隣接互換 $σ_{i}$ は以下の関係式を満たすことを示せ。
但し、 $e$ は $S_{n}$ の単位元を表す。
$\begin{aligned} σ_{i}^{2} & = e (1 \leq i \leq n - 1) \\ σ_{i} \circ σ_{j} & = σ_{j} \circ σ_{i} (1 \leq i < j \leq n - 1, j - i \geq 2) \\ (σ_{i} \circ σ_{i + 1})^{3} & = e (1 \leq i \leq n - 1) \end{aligned}$

(a)
任意の $S_{n}$ の元は有限個の互換の積で表すことが出来る。
また、 $1 \leq i < j \leq n$ とするとき、互換 $(i j)$ は
$\begin{aligned} (i j) & = (i i + 1) \circ \dots (j - 2 j - 1) \circ (j - 1 j) \circ (j - 2 j - 1) \circ \dots (i i + 1) \end{aligned}$
と隣接互換の積で表すことが出来る。
従って、題意が示された。

(b)
$1 \leq i \leq n - 1$ に対して
$\begin{aligned} σ_{i}^{2} & = e \end{aligned}$
は自明である。

$1 \leq i < j \leq n - 1, j - i \geq 2$ に対して、
$\begin{aligned} σ_{i} \circ σ_{j} & = σ_{j} \circ σ_{i} \end{aligned}$
は、 $i$ と $j$ が2以上離れているので $σ_{i}, σ_{j}$ は互いに影響を及ぼさない。
従って、上記の関係式が成り立つ。

$1 \leq i \leq n - 1$ に対して
$\begin{aligned} σ_{i} \circ σ_{i + 1} & = (\begin{array}{c} i & i + 1 & i + 2 \\ i + 1 & i + 2 & i \end{array}) \end{aligned}$
に注意すれば
$\begin{aligned} (σ_{i} \circ σ_{i + 1})^{3} & = e \end{aligned}$
が示される。