$n$次交代群の位数｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$n \geq 2$ として、 $B_{n} \equiv {σ \in S_{n} | σ は奇置換}$ とおく。
また、互換 $τ = (1 2)$ とおく。
このとき、 $σ \in A_{n}$ ならば、 $τ \circ σ \in B_{n}$ であることを示せ。

さらに、 $σ$ に $τ \circ σ$ を対応させる写像 $A_{n} \to B_{n}$ は全単射であることを示せ。

これから、 $S_{n} = A_{n} ∐ B_{n}$ であることと、 $| S_{n} | = n!$ であることを用いて、 $| A_{n} | = n! / 2$ を示せ。

$σ \in A_{n}$ 、すなわち、 $σ$ が偶置換であれば、 $s i g n (σ) = 1$ であるので、 $s i g n (τ \circ σ) = - 1$ となり、 $τ \circ σ$ は奇置換、すなわち、 $τ \circ σ \in B_{n}$ となる。

次に、 $σ$ に $τ \circ σ$ を対応させる写像 $A_{n} \to B_{n}$ は全単射であることを示す。
先ず、先に示した事実より、この写像は確かに $A_{n}$ から $B_{n}$ への写像となっていることが分かる。
単射であることは
$\begin{aligned} τ \circ σ_{1} & = τ \circ σ_{2} \end{aligned}$
とするとき
$\begin{aligned} τ \circ (τ \circ σ_{1}) & = τ \circ (τ \circ σ_{2}) \\ (τ \circ τ) \circ σ_{1} & = (τ \circ τ) \circ σ_{2} \\ e \circ σ_{1} & = e \circ σ_{2} \\ σ_{1} & = σ_{2} \end{aligned}$
より、単射であることが示される。
さらに、全射であることは、任意の奇置換 $σ \in B_{n}$ に対して、 $τ \circ σ$ は偶置換になり、また、この偶置換の元は、今考えている写像により $τ \circ (τ \circ σ) = (τ \circ τ) \circ σ = e \circ σ = σ$ に写されるので、全射であることが分かる。

従って、今考えている写像は全単射であることが分かる。

$n$ 次対称群 $S_{n}$ の元は、偶置換か奇置換であるので、 $S_{n} = A_{n} ∐ B_{n}$ となり、また、先に考えた写像により、 $A_{n}$ と $B_{n}$ との間に全単射が存在するので、 $| A_{n} | = | B_{n} |$ が言える。
さらに、 $| S_{n} | = n!$ に注意すれば、 $| A_{n} | = | B_{n} | = n! / 2$ が言える。